第三章平面问题的有限元法本章通过三角形常应变单元，介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法：包括弹性体的离散化，单元特性的分析，刚度矩阵的建立，等效节点力的计算，解答的收敛性以及实施步骤和注意事项，同时对形函数的性质也作简要的叙述。

第一节三角形常应变单元一、结构离散化用有限元法分析弹性力学平面问题，第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。

(a) (b)图3.1 弹性体和有限元模型将整个结构（平板）划分成有限个三角形。

这样的三角形称为单元（三角形单元）。

三角形单元的顶点取为节点。

3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。

这些三角形在其节点处相互连接，组成一个单元集合体，以代替原来的弹性体。

注：1. 全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。

2. 节点编码：总码-----------用于整体分析，如1,2，…，按自然顺序编号局部码--------用于单元分析，i，j，m 要求按逆时针方向的顺序进行编码每个单元的节点局部码i，j，m和节点总码有一一对应的关系3. 单元间不能有重叠4. 一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点5. 所有作用在单元上的载荷，包括集中载荷、表面载荷和体积力，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。

二、 位移模式1. 单元节点位移列阵iu图 3.2 平面三角形单元设单元e 的节点号码为i ，j ，m 。

由弹性力学平面可知，单元内任意一点有两个位移分量u ，v ，记为{}Tf u v ⎡⎤⎣⎦=故每个节点也有两个位移分量，因此称节点自由度为2。

3个节点得位移分量分别是 ,,,,,m m i i j j u v u v u v ，用列阵表示为{}i ei i e j j j m m m u v u v u v δδδδ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭== （3-1）称单元自由度是6。

其中任一子矩阵为{}Ti ii u v δ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= （i ，j ，m 轮换）2. 位移模式结构承受载荷以后发生位移，但位移分布事先并不知道。

位移法有限元采用节点位移为基本未知量。

因此，在应用位移法有限元时，需要对单元内部的位移分布进行假定，使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。

单元位移分布的假定一般选用代数多项式，多项式的系数待定。

这是一种近似方法。

代数多项式的次数可以选择很高，不过次数越高，分析越麻烦，但精确度越好。

这种假定的单元位移分布形式称为位移模式，它是坐标x 和y 的函数，所以也称为位移函数。

对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u ，v 表示为坐标x 和y 的线性函数，即123546u x y v x y αααααα⎧⎪⎨⎪⎩=++=++ （3-2）式中512346,,,,,αααααα为待定常数设各节点坐标为（x i ,y i ）,(x j ,y j ),(x m ,y m )，同时设各节点位移为（u i ,v i ）,(u j ,v j ),(u m ,v m )代入式（3-2）得i i i y x u 321ααα++=i i i y x v 654ααα++= j j j y x u 321ααα++=j j j y x v 654ααα++=m m m y x u 321ααα++= m m m y x u 654ααα++=由上式左边的三个方程可以求得112i i i j j j m m m u x y u x y u x y α=∆，211121i ij j m mu y u y u y α=∆，311121i i j j m m x y x y x x α=∆其中1211i ij j m mx y x y x y ∆=式中∆为三角形面积，为了保证求得的面积为正值，三个节点i ，j ，m 必须按逆时针编排，如图3-2所示。

将321,,ααα代入式（3-2），经整理得1[()()()]2m m m m i i i i j j j j u a b x c y u a b x c y u a b x c y u =++++++++∆其中m m i j j mi j m i j a x y x y b y y c x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=-=-=- （i ，j ，m 轮换） （3-3）同理得1[()()()]2m m m m i i i i j j j j v a b x c y v a b x c y v a b x c y v =++++++++∆若令1()2i i ii N a b x c y =++∆ （i,j,m 轮换） （3-4） 则得位移模式为m m i i j j m m i i j j u N u N u N u v N v N v N v ⎧⎪⎨⎪⎩=++=++ （3-5）也可写成矩阵形式{}{}00000i i em ij j ijj j m m u v N N N u u f N v N N N v u v δ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=== （3-6）式中,,m i j N N N 是坐标的线性函数，它们反映了单元的位移状态，所以称为形函数，且称000000m i j m i j NN N N N N N ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=为形函数矩阵 。

其中 {}Tem m i i j j u v u v u v δ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 例题1 图示单元，已知各 节点的坐标（单位: m ）， 计算 ：1. 形函数的表达 式；13边中点A 的形函数。

2. 已知各节点的位移：1（0，-0.001），2（0.002,0），3（0,0），计算13边中点A 的位移。

图3.3 例题1y解：1. Δ=11202022011m m i j j m i j m i j a x y x y b y y c x x =-=∙-==-=-=-=-=-=-00202020m m j i i m j i m j i a x y x y b y y c x x =-=-∙==-=-==-= 001m i j j i m i j m j i a x y x y b y y c x x =-==-==-=因 1()2i i i i N a b x c y =++∆（i,j,m 轮换）， 得1(,)(22)21(,)221(,)2i j m N x y x y N x y x x N x y y=--=∙==在13边中点A 有x=0, y=1 ，将其代入上式，的1(,)2(,)01(,)2i j m N x y N x y N x y === 2. 单元节点位移{}000.002000.001TTem m i i j ju v u v u v δ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-由方程（3-5），得13边中点A 的位移110000()221100(0.001)0.0005()22m m i i j j m m i i j j u N u N u N u mm v N v N v N v mm =++=∙++∙==++=∙++∙-=-三、 应变有了单元位移模式（3-5），利用平面问题的几何方程{}x y xy u x v y u v y x εεεγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭∂∂∂==∂∂∂+∂∂ 可以求得应变分量。

j m i x mi j j m i y mi j j j m m i i xy m mi j i j N N u N u u u x x x xN N v N v u v y y y yN N N N u v N N u u u v v v y x y y y x x xεεγ∂∂∂∂==++∂∂∂∂∂∂∂∂==++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂ 而,22i i i iN b N c x y ∂∂==∆∆∂∂ （i ，j ，m 轮换） 所以1()21()21()2x m m i i j j y m m i i j j xy m m m m i i j j i i j j bu b u b u c v c v c v c u c u c u b v b v b v εεγ=++∆=++∆=+++++∆写成矩阵形式{}00010002i i mi j ej m i j j mm ii j j m m u v b b b u c c c v c b c b c b u v ε⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭=∆ 简写成{}{}eeB εδ⎡⎤⎣⎦= (3-7)将其写成分块矩阵形式,,m i j B B B B ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦= (3-8)而子矩阵0102i i i ii bB c c b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦=∆ （i ，j ，m 轮换） (3-9) 注：1. 式(3-9)是用节点位移表示单元应变的矩阵方程，其中矩阵[]B 称之为单元应变矩阵。

2. 由于,,,,,,m m i j i j b b b c c c ∆等都是常数，所以矩阵[]B 中的元素都是常数，因而单元中各点的应变分量,,x y xy εεγ也都是常数。

故这种单元称为常应变单元。

例题2 对于例1单元，试计算单元应变。

解：{}{}{}x e y m m i i j j xy B B B εεεδδδγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭==++ {}{}0i δ= 所以单元应变为{}{}{}x e y mmj jxy B B εεεδδγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭==+20000.00201100012200.00102100.0020.0005000110022j m j m m j m j m m j j b b u u c c v v c b c b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=+-=-=+∆∆四、 应力求得应变后，利用物理方程{}{}D σε⎡⎤⎣⎦= 便可导出以节点位移表示的应力关系式中。

把式（3-7）代入上式，得{}{}eeD B σδ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦= （3-10）令S D B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 则 {}{}eeS σδ⎡⎤⎣⎦= （3-11）上式表示的是应力与节点位移之间的关系。

式中矩阵[]S 称之为单元应力矩阵，写成分块矩阵的形式m m ij i j S D BB B S S S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦== （3-12） 对于平面应力问题，其弹性矩阵[]D 为2101011002E D μμμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=--代入式（3-12），得对应于平面应力问题的应力矩阵22(1)1122i i i i i i i i b c E S D B b c c b μμμμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==-∆--（i,j, m 轮换） (3-13)对于平面应变问题，只要把平面应力问题的弹性矩阵中的E 换成21E μ-，μ换成1μμ-，即得其弹性矩阵为[]101(1)10(1)(12)112002(1)E D μμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦则对应于平面应变问题的应力矩阵为[][][]1(1)2(1)(12)112122(1)2(1)i i i i i i i i b c E S D B b c c b μμμμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥+-∆-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（i,j, m 轮换） (3-14)注：1. 由(3-13) 和(3-14)式知，[]S 中的元素都是常数，所以每个单元中的应力分量也是常数。