图形的相似知识点总复习一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．235B．233C．334D．435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=224323555BD =⨯=， 故选D ．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．3．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9C ．2∶3D ．3∶2【答案】B【解析】【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S==． 【详解】 因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．4．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．如图，在ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】 由//DE BC 可得到DEO ∽CBO ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE ∽ABC ，DEO ∽CBO ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，∴AG AE AF AC= ,故不正确； 故选C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）A ．（8，6）B ．（9，6）C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（10，6）【答案】B【解析】【分析】 直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF 的长，进而得出△OBC ∽△OEF ，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴13BC OB EF EO ==， ∵BC ＝2，∴EF ＝BE ＝6，∵BC ∥EF ，∴△OBC ∽△OEF ，∴136BO BO =+， 解得：OB ＝3，∴EO ＝9，∴F 点坐标为：（9，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．7．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBFDEG ∆∆；④23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，∵BE ＝EC ，∴EF ＝CE ＝BE ＝12a∴GE=12a+x由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13∴BG＝2AG，故②正确；∵BE＝EF，∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，∵BE＝CE，∴BE＝12 BC，∴S△BFC＝2S△BEF．故④错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．8．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．32B．92C33D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．10．如图，边长为4的等边ABC 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE 的面积是( )A 3B 3C 33D ．23【答案】A【解析】【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．【详解】等边ABC 的边长为4，2ABC 3S 443∴== 点D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC 的中位线，DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=， 即AD AE DE 1AB AC BC 2===， ADE ∴∽ABC ，相似比为12， 故ADE S：ABC S 1=：4， 即ADE ABC 11S S 43344==⨯= 故选A ．【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小不变，∴锐角A 的余弦值不变，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH 中，222AH EH AE += ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM == 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．13．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13 B ．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的112 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF 的面积为△ABC 面积的169， 故选A.14．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】 考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．15．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B【解析】【分析】 根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B ．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．16．如图，在ABC 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．17．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得PC CE PD BD =，即253x x =-，解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.18．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-【答案】A【解析】【分析】 设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k = 又点B 的坐标为(1,2)- ∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯=点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．19．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）A．S112=S2B．S114=S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）知，此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，∴S1＝4S2，故选：D．【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm=，20EF cm=，测得边DF离地面的高度 1.5AC m=，8CD m=，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D ∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。