相似
【知识脉络】
【基础知识】
I.有关相似形的概念
（1）形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。

（2）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例, 这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边长度的比叫做相似比（相似系数）。

n .比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）
（1）基本性质：
① a:b c:d ad be :② a:b b:c b2 a c.
注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad be , 除了可化为a: b c: d , 还可化为a c b: d , c: d a: b , b:d a : c , b : a d : c。

a—，交换内项）
c d
a c g匸，（交换外项）
（2）换比性质（交换比例的内项或外项）：
b d b a
d-.（同时交换内外项）
c a
川.平行线分线段成比例定理
基础图形:
定理：如上图，三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例•
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.
IV .相似三角形
（1）概念：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“S”表示，读作“相
似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

注：
①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比
较容易找到相似三角形的对应角和对应边；
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的；
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样；
④全等三角形是相似比为1的相似三角形。

二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求
对应边成比例。

（2）判定：
根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应角相等）
①•平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
③.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
④.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
4
直角三角形相似判定定理 ：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 注: 射影定理：
在直角三角形中，斜边上的咼是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每
一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ ABC 中，/ BAC=90°, AD 是斜边 BC 上的高, 贝U AD f =BD - DC,
A £=BD ・ BC , AC"=CD- BC 。

（3）性质:
相似三角形的性质:
① 相似三角形的对应角相等 ② 相似三角形的对应边成比例
③ 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④ 相似三角形周长的比等于相似比 ⑤ 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形的几种基本图形：
如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“
⑶
如图：其中/仁/ 2,则厶AD0A ABC 称为“斜交型” “反A 共角共边型”
的相似三角形。

（有
“反A 共角型”、 “蝶
型”）
E
C
（有“双垂直共角型” “双垂直共角共边型（也称“射影定理型”
)”
如图：称为“垂直型” (4) ) A 型”与“ X 型”图）
4 )如图：/ 仁/2,/ B=Z。

，则厶AD0A ABC称为“旋转型”的相似三角形。

V .位似
(1)如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图
形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比
注：
1 )位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
2)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
3 )位似图形的对应边互相平行或共线.
(2)位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于相似比。

注：位似图形具有相似图形的所有性质。

(3)画位似图形的一般步骤：(详看例子)
C。