点、线、面的位置关系●知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线的三点确定一个平面. ．．．推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；????,900??；1.4异面直线所成的角：（1）范围：（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.?//a?a//b??②判定定理：③性质定理：???a?//ba??//?aa???????b???b??2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面????,900??内射影的夹角。
范围：????//???；面面平行：①定义： 3.②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；?????////?,b//,b?b,a?O,aa符号表述：????//?,a?a?.符号表述：判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.??//???//??????a//?ab//a?））；（2③面面平行的性质：（1????a????b??（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
???,?a?l?al?l.，则符号表述：若任意都有，且??,ba??O?ab????????l?l al?a,?l??（②判定：1（）；2）③性质：??al??b?l?????a//b?a?b,；3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】??的平面角?－lOA?l??AOB是二面角OB?l,?AOB?[0?,180?] 范围：②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.?????l???90；的平面角为3.3面面垂直（1）定义：若二面角，则??a????? 2）判定定理：（???a???????ABa???????a??MON?90MON??，则②，二面角的一个平面角为（3）性质：①若；???a??ABa??●热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断ababl，则( )β＝．?α，?β若，，α是两条异面直线，α，β是两个不同平面，∩lab分别相交，A．与lab都不相交．，与 B lab中一条相交．，至多与 C lab中的一条相交．，至少与D lablalbababl至少与∥解析：假设与与，从而，是异面直线矛盾，故均不相交，则∥∥，，ab 中的一条相交．选，D.热点二线线、线面平行与垂直的证明ABCDABCDDDABCDABCDABADAD，－⊥平面＝，底面中，【例2】如图，在四棱台2是平行四边形，11111ABBAD ＝60°. ＝，∠11BDAA⊥(1)证明：；1．BDCCA∥平面(2)证明：11BDDDDDABCDBDABCD. ⊥平面⊥，且方法一：因为，所以?平面 (1)11ABDADBADAB，∠中，由余弦定理得又因为＝2＝60°，在△2222ADADBDABADAB －23＝·，＋cos 60°＝222DDADDADBDABADBD＋∩＝，.所以⊥＝.所以又1ABDADD.⊥平面所以11BDAAADDAAA.又?平面，故⊥1111ABCDABCDBDDD，(方法二：因为如图⊥平面)，且?平面1DDBD.所以⊥1DGGAB．)如图(，连接的中点取．ABDABADAGAD. 中，由得＝2在△＝BAD＝60°，又∠ADGGDGB，所以△＝为等边三角形，因此DBGGDB.故∠＝∠AGDGDB＝30°，＝60°，所以∠又∠ADBADGGDB＝60°＋30°＝90°，故∠＋∠＝∠BDAD.所以⊥ADDDDBDADDA. ＝又⊥平面∩，所以111AAADDAAABD. ⊥平面又，故?1111ACAC.(2)如图，连接，11EABDEAC.＝∩设，连接11ABCDECAC.因为四边形＝为平行四边形，所以2ABADABACECACEC，知由棱台定义及∥＝2＝＝2且111111AECC 为平行四边形．所以四边形11CCEA.因此∥11 ABDABDCCEA，，平面平面又因为?1111CCABD.∥平面所以11热点三面面平行与垂直的证明ABCDADBCABBCADBCPABCDPAPB，为平面＝＝2，【例3】在直角梯形外一点，且中，＝∥，4⊥，，PDPCNCD的中点．为，＝ABCDPCD⊥平面；求证：平面(1)EABPPCENE点的位置；若不存上是否存在一点∥平面在线段使得？若存在，说明理由并确定(2) 在，请说明理由．MNPNMPMAB，连接，， (1)证明：取，中点CDABPNPM.，⊥则⊥ABMNBCABCDAB. 又，∴为直角梯形，⊥⊥PMNABMNMPM. ＝∩⊥平面，∴∵PNPMNABPN.，∴⊥又?平面ABCDPNABCD.与∵相交，∴⊥平面ABCDPCDPNPCD.⊥平面，∴平面平面?又．11PCPBEFBFBPCECPEFMFNE，＝上分别取点，，使，连接＝，，(2)解：假设存在．在，，443EFBCEFBC＝则3.∥＝且可求得4MNMNBCEFMNEFMN. ，∴且∵＝3且∥∥＝MNEFENFM. 为平行四边形，∴∴四边形∥FMPAB，?又∵平面1PCENEABPCEPC.∥平面∴在线段＝上存在一点，此时使得 4热点四折叠问题?AB，中，AP//BC，AP例4如图所示，在直角梯形ABCP1AP?2?PCD、、，，沿CDCBGAB=BC=分别为PC的中点，将PD，D是AP的中点，E折起，使F2PD?平面ABCD得．（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；PD?G?EF的大小．) (Ⅱ求二面角F P D AFEDAECBGG B C．AC,BD:连交于O点,连GO,FO,EO:解(Ⅰ)证明11CDCD GOGOEF?EF同理// //, 分别为PC,PD的中点,∴// ,∵E,F22?EO??平面EFOG．四边形EFOG是平行四边形, ?PA//EO,PC,AC的中点又在三角形PAC中,E,O分别为??EO平面EFOG,平面EFOG,PA?PA//平面EFOG,即PA//平面EFG．方法二)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．11CDPB GEEF //,∴同理//,PC,PDE,F∵分别为的中点221AB CDEF?又//AB,// 2?B,EEG?EF?,PB?AB? PAB,平面EFG//平面?//PA?平面EFGPA又．平面PAB,xyz?D DPDA,DC,为方向向量建立空间直角坐标系为原点D,以．方法三)如图以:则有关点及向量的坐标为????????????.2,00,0,1,1C,0,2,0F,G1,2,0A,EP0,0,10,0,2,??????1,EG?10,1,,2,EF???0,1AP?,?2,0??zn?,x,y EFG的法向量为设平面?0?0?ynx?z?EF????.??????0??0yx?y?z???0EG?n????10n?,1,取．?AP?0?,?2n?0?0?1?2An??1, ∵?AP?平面又EFG．平面EFG．AP//DCAD??PD?ABCDABCD ,Ⅱ)由已知底面又∵是正方形面(DCD?PD?PD?AD?又?DDA0,2,0??AD?PCDPCD平面, ,的一个法向量向量=是平面??n01,,?EFG的法向量为又由(Ⅰ)方法三)知平面2Dn.?cosDA,n???222n?DA0.45DEF?G?结合图知二面角的平面角为热点五线线角线面角面面角●6ABCDABCD?PPA与底面中，侧棱例5正四棱锥所成角的正切值为。
2ABCDPAD所成二面角的大小；（1）求侧面与底面AE所成角的正切值；中点，求异面直线PD与E（2）若是PB?PAD的位置，并加以证明。
试确定点EFF，使得F侧面PBC（3）在侧面上寻找一点BDAC,ABCDOPA所成的角，∠ PAO就是与底面，∴⊥面）连（1，则交于点，连POPOABCD6。
PAO= tan∴∠2．3。
tan∠PAO =设AB=1，则PO=AO?2ABCD?PFOPAD与底面就是侧面，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，设F为AD中点，连FO、PO所成二面角的平面角。
?PO?PFO?tan??3?PFOPFO?中，，∴在Rt。
3FO?ABCDPAD与底面所成二面角的大小为即面31//PDEO）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。
（2）由（1?2EOD?所成的角。
就是异面直线PD与∴AE5522??ODPOPD??EO PDO?在Rt中，。
∴。
24EO?POAO?AOAO?BDAO?PBD。
所以，由面。
可知：，AOE?，中在Rt P10AO2?tan?AEO?。
5EO成的角的与AE所∴异面直线PD102正切是。
H 5E GFOBC连接交于点（3）延长，PGPGH中点，连接。
设为CD GH,EH。
G ABCD?P 为四棱锥∵正四棱锥OFK GBCADF为且中点，中为所以，BA点，FG?PGBCBC?，。
∴PFG面面PFGBC?PBC∴面⊥。
∴??PFO?PFGPG?PF?，，∴为正三角形。
∵3PBC 面?FH PG?FH。
，∴∴FH////FKKEHEHEKFHE?FK。
为平行四边形，及得四边形所以，，连EK，则由 K取AF中点为PBC?KE面。
∴学生练习●一、选择题???nm,,, 1．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：????????nm??m////?/n?m/m，则，，②若，则，①若????????//??n//m//m//n，则，，则③若④若，其中正确命题的序号是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④a,b,c，则长方体体对角线长为（2．若长方体的三个面的对角线长分别是）1222222c?a?bca??b A．B ．232222222c?ba?c?ab?．．DC220,?ABC?30BCD,BD?DC,BD?DC,AC?a?ACA?BCDC底面,中到平面3,则点．在三棱锥ABD的距离是( )11．D A．B．5355ABCD?ABCDAC CEE垂直于（中，若）是4．在正方体的中点，则直线111111ADAD ACBD．C．D A．B．111P?ABCABCPHH 的（的高为），若三个侧面两两垂直，则5．三棱锥为△A．内心B．外心C．垂心D．重心2A?CD?BABCDAC1的余弦值为（在四面体中，已知棱的长为），其余各棱长都为，则二面角6．2311． D C A．． B ．3323aE,F SCABCS?AB的中点，和中，各个侧面都是边长为四面体分别是的正三角形，则异面直线7．SAEF所成的角等于（）与000030456090． D C．A．B．二、填空题??BA,cm64cmMAB为平面别分为的和距则，线段的中点到离离点1．面到平的距．_________________ _______。