频率轴归一化 对应于时间轴的采样周期T的归一化。 x[n]的间隔为1 例：一个正弦信号的采样与重建
xc(t) = cos(4000πt)
T=1/6000
有
x[n] = xc(nT) = cos(4000πTn) = cos(ω0n)
其中ω0 = 4000πT = 2π/3, Ωs = 2π/T =12000π
xs(t)与x[n]区别
连续，离散 时间归一化 冲击面积，有限 数值
4.2 采样的频域表示
数学上表示采样的两步：
第一步： xc(t) xs(t)
第二步： xs(t) x[n]
首先考虑第一步，周期冲击串
调制：
s(t) (t nT ) n
xs (t) xc (t)s(t) xc (t) (t nT ) n
第四章 连续时间信号的采样
Sampling of Continuous-Time Signals
4.0 引言
离散时间信号 实际存在 或 连续时间信号采样 （常见） 问题：连续时间信号 离散时间信号的完全准确表示 （包含全部
信息） 决定因素：采样率（sampling rate）,采样周期、采样频率 方法：时域？频域！ 恢复（表明问题的方法）：离散时间信号（恢复）连续时间信号
有
Xr(jΩ) = Xc(jΩ)
例子：xc(t) = cosΩ0t
xc(t) = cosΩ0t xc(t) = cos(Ωs -Ω0)t
奈奎斯特采样定理
设xc(t) 为带限连续时间信号，即其傅里叶变换：
Xc( j) 0, N
则xc(t) 可以由它的采样值 x[n] xc (nT ), n 0, 1, 2, 唯一确定，条件是采样频率 s 满足：
k
Ωs
2
T
证明：
因为s(t)为周期函数，用傅立叶级数可表示为：
s(t)
a e jkst k
k
由于t的区间：-1/T ~ 1/T
1
ak T
1
T 1
T
s(t)e
jkst dt
1 T
1
T 1
T
n
(t
nT
)e
jkst dt
ak
1 T
1
T 1
T
(t)e
jkst dt
1 T
s(t) 1
e jkst
T k
S( jΩ)
2
T
(Ω
k
kΩs )
X s ( jΩ)
1
2
X c ( jΩ) S( jΩ)
1
2
X c ( j )S( j( ))d
X
s ( j)
1
2
X c ( j )
2
T
(
k
ks )d
X s ( j) 122 NhomakorabeaT
k
X c ( j ) (
ks )d
1 T
n
比较有：
X s ( j) X (e j ) T X (e jT )
最终可得：
X
(e jT
)
1 T
k
Xc(
j
jks )
或等效为：
X
(e j )
1 T
k
X
c
(
j
T
j
2πk T
)
从Xs(jΩ) X (ejω)表示频率尺度变换：ω=ΩT 频率轴
归一化
Xs(jΩ) ---- Ω =Ωs X (ejω) ---- ω = 2π
实际实现：理想转换器的一种近似， A/D转换器，Analog to Digital （量化级数，线性度，采样保持）
采样的可逆性： x[n] xc(t) ------ 采样的条件（输入信号的限制）
数学表示（两步）：冲击串调制器+冲击串到序列的转换器
s(t) (t nT ) n
xs (t) xc (t) (t nT ) n
信号的最高频率ΩN= 4000π，满足Nyquiest定理，没有混叠。
其傅立叶变换为： X c ( jΩ) π ( 4000 π) π ( 4000 π)
在Ωs = 12000π时
X s
(
jΩ)
1 T
X c ( jΩ
k
kjΩs
)
4.3 由样本重构带限信号
由x[n] (恢复) xc(t) 见图4.4
或称重构
4.1 周期采样（Periodic sampling）
xc(t) ---- 连续时间信号 周期采样后得到样本序列：x[n] = xc(nT), －∞＜ n ＜ ∞ T --- 采样周期，等间隔采样； fs = 1/T --- 采样频率 --- Ωs = 2π/T （弧度/秒） 理想（C/D）转换器（Continuous to Discrete）：
X (e j )
X s ( j)
X r ( j) X c( j)
频域：Xc(jΩ) = Xr(jΩ) = Hr(jΩ) Xs(jΩ) Xs(jΩ) = X(ejΩT), X(ejω) 时域：xc(t) = xr(t) = hr(t) ＊ xs(t) xs(t) = x[n]
时域关系，有前知，
做傅立叶变换：
X s ( jΩ)
xc (nT ) (t nT )e-jtdt
n
X s ( jΩ)
xc
(nT )
(t
nT )e-jtdt
xc (nT )e- jnT
n
n
X s ( jΩ) xc (nT )e-jnT n
由于
x[n] xc (nT )
X (e j )
x[n]e- jn
xs (t) xc (nT ) (t nT )
由冲击函数的筛选性：
xs (t) xc (nT ) (t nT ) n
xs(t)的傅立叶变换 根据傅立叶变换的性质：时域相乘频域卷积
X s ( jΩ)
1
2
X c ( jΩ) S( jΩ)
先求S(jΩ)，由傅里叶变换特性
s(t)周期冲击串S(jΩ)周期冲击串
即：
S( jΩ)
2
T
(Ω kΩs )
X c ( j
k
jks )
X s
( jΩ)
1 T
X c ( jΩ
k
kjΩs
)
Xc(jΩ)与Xs(jΩ)的关系周期重复叠加
Xs(jΩ)重复部分 不重叠的条件：
Ωs - ΩN > ΩN 或：
Ωs > 2ΩN 结果：低通滤波 器恢复出 Xc(jΩ)xc(t)
混叠 aliasing
Xr(jΩ) = Hr(jΩ) Xs(jΩ) ，若 ΩN < Ωc < (Ωs - ΩN )，
s
2π T
2N
ΩN ---- Nyquist Frequency 2ΩN ---- Nyquist Rate
采样频率 必s 须大于Nyquist Rate
第二步： xs(t) x[n] 也就是Xs(jΩ)和Xc(jΩ) X (ejω) x[n]
考虑Xs(jΩ)的另一种表示形式。对
xs (t) xc (nT ) (t nT ) n