导数压轴题训练1.( 2014 湖南).22 . ( 2014 湖南)..已知常数a • 0 ,函数f x A In 1 • ax -一2^-」％‘ x+2 （1）讨论f x在区间0,亠「］上的单调性；⑵若f x存在两个极值点x1,x2,且f为f x2- 0,求a的取值范围.【答案】（1）详见解析【解析】解：（1）对函数f x求导可得2 2fx 亠一亠a 2一41 a x二—：,因为1+ax (x+2) (1+ax)(x+2) (1+ax)(x+2) 21 ax x2 ■ 0,所以当1 - a乞0时,即a _1时,f ' x _0恒成立，则函数f x在0, •单调递增，当a兰1时，「（x）= 0二x = ±2#a（1_a），则函数f（% j在区间°,⑵解:（1）对函数f X求导可得2 2 工a 4 a x 2-4 1 ax ax-4 1-af ' x 2 = -------------------------------- 22，因为1+ax (x+2) (1+ax)(x+2) (1+ax J(x+2)21 ax x2 - 0,所以当1 - a乞0时,即a -1时,f ' x -0恒成立,则函数f x在0,匸：单调歸疏1 - a) 2回1 _a打悶单调递增的.单调递减，在_a+ =0单调递增的递增，当ac1时，「（x）= 0n x = ±2J a（1也，则函数f （x j在区间0, 单调递减,三蕎二S 3多li s ^://【=二二三s ^g汙一-r w E <Em蔓畫u.希三f u H 卜』(22)存“电圭*上.(二一召7二(一亠蔓二气M Mf s m s ;£s .這.-i』a s一芽邑so?一盒灵T n ?-:」B歩-二-二x M r M- fuHP栄孚«芦<2・E ws e -E一S S產s s fc ffi 尹豊i£J耋r竺芦二affi (r £s ^寮建尹*1«齐侖).t s sl t s命.1H- «§•=££»•<盖r s M w f o* -g J s s K i sT Y i-^x ^.T-y T-^v+ 二 口 二F r A国hg x•熏旺三e話s>)養(£iQ r v A m F-仝H X J Jt芽養亠=;一J =出w i w -曲竺二 zhAr uU S F X M L E s m罟lv r h ^/苹冬Kw)髓孚—K s s S R三£i ;君MJ*T皐严二Y m )冬r s芬糞一G r s w 2一 w"严® -1 ；…異 gw gs J x s M ,5_吕)«二&s T d 芦1f E <wK證g 釜曇ffi s 兰h2.(20) (224H 迸(M /J 画裁®」4®)ra 冷®達 f (X T X — ^ex(a 2 R)〉x7Fc ra 冷®達y u 二 X) 加国-><>X H X 2〉皿 X A X 2 •(I )決(h )s s X 2 盘it a 3崑 逋X -(ID)岂溢><+ X 2盘邮a 3崑9耳逋”-(2°4s J --<) 21 (2°4s J --<) •ra MI ®^f (X) H e x — ax2 — bx M 甘 a b dl R 〉e "2.71I 3S E 皿書肯舀。

(」)菇 g(x)徊®達 f(x )34[n®芦渕®達 g (x )m 冈巨p 二k解：(1)因为 f (x) = ex-ax ? -bx -1 所以 g (x) = f (x) = e x -2ax -b 又 g (x) = e x -2a因为x 三［0,1］ , 1 < ex< e 所以：1① 若 a，则 2a 込 1 , g (x) = ex- 2a _ 0 ,2所以函数g(x)在区间［0,1］上单增，g min (x)=g(0) =1-b1 e② 若一 a —,则 1：：： 2a ：：： e ,22于是当 0 ：：： x ::: In(2a)时 g (x) = e x -2a ：： 0 ,当 In(2a) ：：： x ：：： 1 时 g(x) = e x -2a 0 ,所以函数g(x)在区间［0,ln(2 a)］上单减，在区间［In(2 a),1］上单增，g min (x) =g ［ln(2 a)］ =2a -2aln(2a) -be③若 a ：： —，则 2a _ e ，g (x)二 e x - 2a _ 02所以函数g(x)在区间［0,1］上单减，g min (x)二g(1) = e-2a-b1-b,e-2a-b, a/,2(2)由 f (1)= 0= e — a — b —1 = 0= b=e — a —1，又 f(0) = 0 若函数f (x)在区间(0,1)内有零点，则函数f (x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间1 e由(1)知当a 乞 或a 〕：一时，函数g(x)即f (x)在区间［0,1］上单调，不可能满足“函数 f (x)2 2在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。

卄1e右一 a —，贝寸 g min (x) = 2a _2a ln(2a) _b =3a _2a ln(2 a) _e_1 2 2人3 ’令 h(x)=—x —xl nx —e —1 (1 ：： x ：： e )2 所以h(x)在区间(1, e)上单增，在区间(e,e)上单减综上:g(x)在区间［0,1］上的最小值为 g min (x) ={2a -2aln(2a) -b.1则 h (x) = ln x2由 h (x)= ---- ln x 0= x ：： 2h max (x) =h(・e) n^l e —^ln *e —e —12 g(0) = 2 - e a 0 — i a e - 2 g(1) 01 e又 :::a -所以 e — 2：：： a ::: 122综上，a 的取值范围为(e_2,1)3.( 2014陕西卷).(本小题满分14分)设函数f (x)二In(V x),g(x) = xf'(x),x_ 0，其中 f '(x) 是f (x)的导函数 g(x)二 g(x),g n 1(x)二 g(g n (x)), nN .，求 g “(x)的表达式；(2)若f(x) _ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)设n 三N .，比较 g(1) + g(2) +||j + g(n)与n — f(n) 的大小，并加以证明=e _e _1 ：：： 0 即 g min (x) ：：： 0恒成立于是，函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间 二解 由題设得.祇刃=帯（工鼻0〉.（［）由已知，g ］ M = "j ■丰7疥（刃=肛的O ）〉=当□£】时./（.r ）鼻0 （仅当才=0*三计恻粧县取立）, 化 叭刃 在［0.-4-^）上粧凋递塔*又卩9） = 0, .*. 0>） > 0在［0, + X ）上恒成立‘:.&€】时*IM 】亍丁）$严~恒成立（仪当工=0时等号成立）.I r X当4>1时*对JT € （0皿-有屛（』）V 九 :、卩（刃在（0“ 一' 口上单调递减* :* 护（<1 — ）） V 护（0） =O H .« > I 时 存H 、使讽刃vo*故知—才）p 芒；不怕成立， 综匕可知皿的取值范圳地（—R ・l ；［B ）由题设知図⑴专g ⑵十…十g5）= * f 寻—…+厂土亍“ —f{n ） = n — ln<?i 亠丨）,比较结果为g （l ）*r g<2）亠…一耳（种）> n — ln （?i+ 1）, 证明如下:辭 W =］寸£>".町得gO =■ J7I + m下直用数学归纳法证明.①当n = 1时，却（幻=匸结论成立•②偃设n = k 肘结论成立■即知（Q =匸吉 那么:各* m 虫+ 1时’gitr) = -計（工） I + gi （j ）= j,- 1十集+ 1)『 +1十&即结论成立.由CD ②可知，结论对7號宜21.（II ）已知fS也成仆邛xin--： X 2（学丁卡成丄设牡工）=1臥1 +H ） — I +工“豪小*一 ^u_a"T7)'证法一上述木务祈于密亠专+…卡< InCrt 4-1)・在(U)中取Q = 1 "可得ln( 1 + h) > . ~T T J> 0.1十z令j：=丄丫n € N,^ 则，｝t< In 黒土L7t rt -j-1 H下面用数学归纳法证盼，①n = I时・* <怙氛蜻论成宣.②假设当片=花时结论成立*卸* + £ + "" +厂吕< 曲£ + !)■那么，当n = R七1时++十占+小+占+ 丰VbiU*】)+ ^^ VEG中l) + ln：甘=In備斗2人即结论战立.ffi h® 遵剛田，结论对K€ 2盛直.证法二上述不尊式等输于吉+| +…+ 昭<ln(7i + 1),蛊(U)中取占=】，可得ln(H-x) rr >0.3t =丄山6聶八则万.n 7t H 1故有I R2I In L A * ,Ln3 — ln2 A 寺*上述各式相加可得ln(n + D > | + £•十“・+詁结论鮒证证法三如图「"士加是由荊罐」Q H十1> - 右・JC = n^T柚所彌成的输边梯形舸面眾死：斗吕十"'+；Il寸是图中所示各矩腦的面积和+寺卡寻一"命珂;.命也= J；H—占血=「山(卄5结论阳证E卷选择题答秦LC 盘 C 3. B ++C 5. D 6.B 7,0 «. A 9, B W. A4.【2014年重庆卷(理20)】已知函数f(X)=ae2x-be^x -cx(a,b,c R)的导函数f '(x)为偶函数，且曲线y二f (x)在点(0, f(0))处的切线的斜率为4 - c.(1)确定a,b的值；(2)若c=3，判断f (x)的单调性；(3)若f (x)有极值，求c的取值范围.解：(1)f'(x)=2ae 2x 2be2x- c ，由 f'(-x)二 f'(x)恒成立知：2ae 2x 2be'x - c 二 2ae 2x 2be 2x - c 二(2a - 2b)e 4x (2b - 2a) = 0，故 a = b 另外 f '(0) =2a 2b _c=4 _c= a b =2 联立解出a =b =1(2) 此时 f '(x) =2e 2x • 2「x - 3 =2(e x -e 」)2 • 10，故 f (x)单调递增。