课题 两条直线的位置关系
1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系
标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式
教学重 两条直线平行与垂直的判定 点
教学难 点
教学方 法
教具准 备
点到直线的距离公式 讲练结合 教材
教学过 程
【基础练习】
1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=0
3.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2
一点，则 k 的值等于 1 2
4.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程
为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.
5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.
简解：答案为 28 3
【范例导析】
【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.


解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ，
当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０
∴ l1 与 l2 相交；
当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m
1 6 得 m＝3 m 2 2m
故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。

（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，
（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。

点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.
例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。

求直线 l 的方程。

分析：可以求出直线 l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离 公式求出直线斜率
解法一：:若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3，此 时与 l1 、 l2 的交点分别是 A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题 意。

若直线 l 的斜率存在，则设 l 的方程为 y=k（x-3）+1，
解方程组
x

y

y k
1 0
x 3
得 1
A（
3k k
2 1
,
－
4k 1 k 1
）
解方程组
x

y

y k
60
x 3
得 1
B（
3k k
7 1
，－
9k 1 k 1
）
由|AB|=5 得

3k k
2 1
3k k
7 1
2
+

4k 1 k 1
9k 1 k 1
2
=25，
解之，得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。

综上可知，所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。

解法二.设直线 l 与 l1 、 l2 分别相交于 A（x1，y1）、B（x2， y2），则 x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。

两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5


①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立①
②，可得

x1 y1

x2 y2

5 0
或

x1 y1

x2 y2

0 5
由上可知，直线 l 的倾斜角为 0°或 90°，又由直线 l 过点 P （3，1），故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。

点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情 况的讨论.
【例 3】设已知三条直线
l1 : mx y m 0, l2 : x my mm 1 0, l3 : m 1 x y m 1 0
它们围成ABC,（1）求证：不论 m 为何值，ABC 有一个顶点为 定点.（2）当 m 为何值时，ABC 面积有最大值和最小值，并求此 最大值与最小值.
分析:本题问题（2）考察直线过定点的问题,问题（3）可以建立面
积的表达式,转化为求函数最值问题.
解：（1）证明：因为直线 l1 : mx y m 0 恒过定点（-1，0），直
线 l3 : m 1 x y m 1 0 也恒过定点（-1，0），所以直线 l1 与 l2
的交点为定点（-1，0），即ABC 有一个顶点为定点，不妨设为 C （-1，0）.
（2） 因为 m1 m1 0, 所以 l1 l2 ，即 AB⊥AC,又 l3 与 l2 的
交点为 B（0，m+1），由点到直线距离公式得 B 到直线
AC
的 距 离 dB
1 ，点 m2 1
C
到
AB
的距离
m2 m 1 dc m2 1
. 所 以 ABC
的面积
S= 1 2
m2 m 1 = 1 1 1 m2 1 2 m 1
.当
m＞0
时， m 1 2 ， m
m
等号在 m 1时成立，S 有最大值 3 .当 m0 时， 4
m 1 2 ，等号在 m 1时成立，S 有最小值 1 .
m
4
点拨:解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题.
反馈练习：
1.已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1，且垂直于直线 y 1 x ，则 l 的方
2
程是 y 2x 2
2.若直线 ax (1 a)y 3 与 (a 1)x (2a 3)y 5 互相垂直，则 a -3 或


1
3.若直线 l1：ax+2y+6=0 与直线 l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0 平 行，则 a 的值是___-1___.
4.已知 0 ，且点 (1, cos ) 到直线 xsin y cos 1的距离等于
2
1 ，则 等于
4
6
5.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直 线 sinA·x+ay+c=0 与 bx－sinB·y+sinC=0 的位置关系是垂直
6.已知点 P1(x1, y1) 、 P2 x2 , y2 ，分别是直线 l 上和直线 l 外一点，若直 线 l 的方程是 f x, y 0 ，则方程 f x, y f x1, y1 f x2 , y2 0 表示的图
形是 过P2且与l平行的直线
7.点 (2,3) 关于直线 x y 1的对称点的坐标是 （-2， -1）
8. 经过直线 2x 3y 7 0 与 7x 15y 1 0 的交点，且平行于直线 x 2y 3 0 的直线方程是 3x+6y-2=0
9.两条直线 ax 2ay 1 0, 和 a 1 x a 1 y 1 0互相垂直，则
垂足的坐标为

2 15
，7 30

10.线 l1 过点 A(5,0) ， l2 过点 B(0,1) ， l1 ∥ l2 ，且 l1 与 l2 之间的距离等 于 5，求 l1 与 l2 的方程。

解： l1 与 l2 的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0 或 x=5,x=0
11.条直线 x y 1 0, 2x y 8 0和 ax 3y 5 0 共有三个不同 的交点，求 a 的范围。

解: a 3且 a 6 且 a 1 3
12. 已 知 ABC 的 三 边 方 程 分 别 为 AB: 4x 3y 10 0 ，
BC: y 2 0 ，CA: 3x 4y 5 0 .
求：（1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC 的内角平分线所
在直线的方程.
解 ：（ 1 ） AB 边 上 的 高 斜 率 为 3 且 过 点 C ， 解 方 程 组 4
y 2 0 3x 4y 5
0
得
点
C （ 13 ， 2 ） 所 以 3
AB
边上的高方程为
3x 4y 21 0 .
（ 2 ） 设 P x, y 为 ∠ BAC 的 内 角 平 分 线 上 任 意 一 点 ， 则


4x 3y 10 3x 4 y 5 解得 7x 7 y 5 0 或 x y 15 0 ，由图
42 32 32 42
形知 7x 7 y 5 0 即为所求.
作业布置 教后反思：











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