设计变量 /mm x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
取值范围 /mm 200 ～ 400 400 ～ 600 700 ～ 1 100 200 ～ 400 12 ～ 15 700 ～ 1 200 700 ～ 900 200 ～ 900
初始值 /mm 250 575 950 250 15 873 870 500
（ a） 横隔板间距
表 2 优化前后床身结构动静态性能比较
设计变 优化
量 /mm 前
x1 250
x2 575
x3 950
x4 250
x5
15
x6 873
x7 870
x8 500
优化 后 345 441 927 314 15
1 190 779 213
刚度 /（ N /mm）
基频 /Hz
优化前 优化后 优化前优化后
近似模型通过数理统计和实验设计的方法，在设 计变量和响应之间建立一种函数关系，用来近似复杂 的实际问题。常用的近似模型有多项式响应曲面、径 向基函数模型、Kriging 模型等［4］。响应面法是用于处 理多变量问题建模和分析的一套统计处理方法，能够 在不确定数据集趋向于何种曲线时，对整个数据集进 行整体的拟合，能够很好地解决在多个设计变量同时 作用下目标的优化问题。因此文中选择建立响应面近 似模型进行优化求解。 1． 2 优化流程
图 2 遗传算法求解流程图
图 1 优化流程图
1． 3 多目标优化问题的处理方法
在优化设计中经常遇到的是多目标优化问题。对
于多目标优化的处理方法，主要有评价函数法、分层求
解法、目标规划法。评价函数法借助构造某种适当的 评价函数，将多目标问题转化为单目标问题来求解［5］。
折衷法是评价函数的一种处理方法，它的基本思想是
优化流程图如图 1 所示，首先根据实际问题确定 设计变量及其变化空间，利用中心复合设计法进行实 验设计，根据实验设计结果进行样本点采集； 然后对各 组样本集合进行有限元分析，得到结构的响应。通过 拟合设计变量和系统响应之间的函数关系建立二阶响 应曲面，在响应面上进行寻优求解。通过自由随机法， 根据建立的多目标优化问题的数学模型，在整个二阶
关键词： 机床床身； 优化设计； 近似模型； 多目标 中图分类号： TH122 文献标识码： A 文章编号： 1001 － 2354（ 2010） 08 － 0065 － 04
机床床身内部筋板的结构、布局及垫铁位置在很 大程度上决定了机床床身结构的动静态性能。目前国 内基本上通过研究床身内部筋板结构来提高床身结构 的动静态性能。东南大学的汤文成等运用有限元法对 TH566 型数控加工中心机床的床身结构进行分析，阐 述不同筋板布局形式对床身结构动态特性的影响［1］。 天津大学的张学玲等以一立式加工中心为研究对象， 通过提取床身典型元结构和框架结构进行优化，并以 床身固有频率为优化目标，以元结构和框架结构的分 析为依据，提出了床身结构若干改进方案［2］。床身结 构的动静态性能不仅与筋板的结构、布局有关，也与垫 铁的位置有关，这些因素互相影响，显然仅优化筋板布 局或垫铁位置并不能得到真正的最优结构。另一方 面，床身是机床的大件，其质量占整机质量的 20% 左 右，合理地设计床身结构，使床身在满足使用要求的条 件下质量最小的优化设计，可降低机床生产成本，提高 经济效益。文中以某型号机床为研究对象，以床身内 部横隔板间距、厚度及垫铁间距为设计变量，运用实验 设计方法建立床身基频和刚度的二阶响应曲面，在近 似模型上采用折衷法的多目标问题处理法，运用遗传 算法进行优化求解。最后对优化的床身结构进行拓扑 优化设计，合理地设计床身铸造时的出砂孔。优化后 床身的质量减小，而刚度提高。
最小二乘法，根据实验设计的结果，分别构造基频和刚
度与设计变量之间的二阶响应曲面，两个响应曲面的
最大相对残差分布为 0． 61% 和 0． 74% ，因此近似模型
满足精度的要求，能够代替实际模型进行优化求解。采
用折衷法按照式（ 1） 进行多目标优化问题处理，利用
遗传算法对优化问题进行求解。
表 1 设计变量的设计空间
设计者选取多目标中的一个作为目标函数进行优化，
而把其他目标函数视作可以变通的约束，设置一个不
希望超过或小于的值，把多目标问题转化为单目标问
题进行优化。
文中采用折衷法对床身结构进行优化设计，优化
模型为：
max k
（ 1）
s． t． f － ［f］ ≤ ε ［f］
X
l i
≤
Xi
≤
Xui
（ i 期
响应曲面上初步寻找最优解，再以自由随机法寻找的 最优解为新的样本空间，利用遗传算法反复迭代求解， 进行进一步的寻优，验证最优解的真值。如果满足精 度要求，优化求解过程结束，如果不满足则修正响应曲 面进一步迭代求解。响应曲面的精度直接影响结果的 优劣，文中要求拟合的近似模型的误差值在 1% 以内。
数学模型为：
max K
（ 2）
s． t 0 ＜ βi ≤ 1 M ≤ Mlimit
式中： K——— 刚度；
βi ——— 单元 i 的伪密度； M——— 结构扑优化后的质量；
Mlmit ——— 设定的优化后结构质量。
设定优化后床身质量下降 10% ，运用密度法对床
身结构进行拓扑优化，优化后的拓扑图如图 5 所示。图
扑图和床身结构的实际需要，在床身内部水平横隔板
和床身底面开出适当的出砂孔，并减小床身底面壁厚，
床身结构删除材料后的结构如图 6 所示。
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机械设计
第 27 卷第 8 期
（ a） 床身底面拓扑图
（ b） 床身内部拓扑图 图 5 床身结构柘扑图
图 6 优化后的机床结构
对优化后的结构进行有限元分析，优化后床身结 构性能 如 表 3 所 示。床 身 结 构 的 刚 度 为 1． 74 × 105 N / mm，比原床身结构的刚度值大了 1 × 104 N / mm，增 加了 5． 8% 。虽然基频为 204． 5 Hz，比原床身结构的基 频下降 7． 3 Hz，但整个床身质量由原来的 1 496． 6 kg 降到 1 424. 3 kg 减轻了 4． 83% 。
式（ 1） 表明寻求设计变量 Xi（ i = 1，2，…，n） 的最 优值，使结构在基频接近原结构的约束条件下，结构刚 度最大。 1． 4 优化算法
遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和进化发展 起来的高度并行、随机、自适应搜索算法。它使用了群 体搜索技术，将种群代表一组问题解，通过对当前种群 施加选择、交叉和变异等一系列遗传操作，产生新一代 的种群，并逐步使种群进化 到 包 含 近 似 最 优 解 的 状 态［6］。利用遗传算法求解优化模型能够解决任意维数 函数的组合优化问题，能够找到响应面中的全局最优 解，同时遗传算法能够很好地解决离散变量的问题。遗 传算法求解流程图如图 2 所示。
1 设计方法
1． 1 实验设计方法及响应面近似模型的建立
实验设计方法是用来研究设计参数对模型设计状 况影响的一种取样策略。实验设计是构建近似模型过 程中的重要环节，决定了构造近似模型所需样本点的 个数和这些点的空间分布情况。
文中采用中心复合设计法（ CCDs） 进行实验设计， 该方法最早由 Box 和 Wilson 于 1951 年提出［3］。由于 这种设计方法具有序贯性、预测效率较高等特点，在实 际设计中已得到广泛应用。采用中心复合设计法能够 在提供较少的实验次数下，充分考虑实验设计变量之 间的相互影响关系。
图 3 某型号床身结构的三维图
2010 年 8 月
陈叶林，等： 机床床身结构优化设计方法
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2． 2 设计变量 床身内部横隔板的间距（ x1 ，x2 ，x3 ，x4 ） ，横隔板
的厚度 x5 及垫铁的间距（ x6 ，x7 ，x8 ） 为设计变量，研究 它们对床身结构性能的影响，设计变量如图 4 所示。
式中： ε——— 在优化过程中允许床身基频的改变量；
k——— 机床刚度；
［f］——— 原床身结构的基频；
f——— 优化后床身结构的基频；
Xi ——— 设计变量； Xui ，Xli ——— 设计变量的上下限。
2 算例
2． 1 研究对象 某型号外圆磨床床身由灰铸铁铸造而成。床身长
2 900 mm、宽 1 170 mm、高 707 mm，壁厚 15 mm。前床 身上有 V － 平型导轨，导轨总长 2 800 mm，前床身内部 有 8 块横隔板和 1 块水平横向筋板。后床身分别有 2 块 横、纵隔板。床身内部的横隔板厚度为 15 mm，床身底 面由 11 块垫铁支撑。原床身上设置了多个出砂孔，有 限元分析结果显示原床身结构的刚度为 1． 64 × 105 N / mm，基频为 212． 8 Hz。为了进行优化设计，将床身 内部的出砂孔全部填上，设计初始模型如图 3 所示，对 其进行有限元分析，床身刚度为 1． 68 × 105 N / mm，基 频为 214 Hz。
表 3 拓扑优化前后床身结构性能比较
床身结构 优化前 优化后 变化量
刚度 /（ N /mm） 1. 64 × 105 1. 74 × 105 5． 8% （ +）
基频 /Hz 212． 8 205． 5
3． 43% （ －）
质量 /kg 1 496． 6 1 424． 3 4． 83% （ +）
第 27 卷第 8 期 2010 年8 月
机械设计
JOURNAL OF MACHINE DESIGN
Vol． 27 No． 8 Aug． 2010
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机床床身结构优化设计方法
陈叶林，丁晓红，郭春星，郭媛美
（ 上海理工大学 机械工程学院，上海 200093）
摘要： 结合基于近似模型的尺寸优化及拓扑优化技术，提出了机床床身结构优化设计的策略。首先以床身结构的刚 度和基频为设计目标，以床身内部横隔板间距及厚度、垫铁间距为设计变量，通过中心复合设计法生成实验所需的设计 变量的样本点，对生成的样本点进行有限元分析得到样本点的响应，借助最小二乘法建立近似模型二阶响应曲面。采用 折衷法建立多目标优化模型，并用遗传算法进行求解。在此基础上，采用密度法对床身结构进行拓扑优化。实例计算结 果表明，优化后床身质量减轻了 4． 45% ，而刚度提高了 5． 8% 。