数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。

而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。

下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。

模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 n a d n ，则)11(1111 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT 对所有n N 都成立的最小正整数m ； （2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－)1(2)132n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3 n n ＝)161561(21 n n ，故T n ＝ni ib1＝21)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161 n ）. 因此，要使21（1－161 n ）<20m （n N ）成立的m,必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10..例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P ),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在函数)0(2x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x 11,1且.（I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:2n n n n S T S S S TL 求证 解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径，,)()(,||1212111 n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即两边平方并化简得,4)(121 n n n n y y x x由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212 n n n n n n n x x x x x y r),(211,2,01111N n x x x x x x x x nn n n n n n n 即11}1{1x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以121,122)1(11 n x n n x n n 即 （II ）4422)12(n x y r S n n n n，])12(1311[2221n S S S T n n 因为))12)(32(15.313.111(n n .23)12(223)]1211(211[)]}121321()5131()311[(211{n n n n所以，.23n T 模型二：分母有理化，如：n n n n 111例3已知)2(41)(2x x x f ，)(x f 的反函数为)(x g ，点)1,(1n n a a A 在曲线)(x g y 上)( N n ，且11 a(I)证明数列{21na }为等差数列；(Ⅱ)设1111n n n a a b ,记n n b b b S 21，求n S解(I)∵点A n (11,n n a a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +)，∴点(n n a a ,11)在曲线y =f (x )上(n ∈N +)4)1(12nn a a ,并且a n >021141nn a a，),1(411221N n n a a nn，∴数列{21na }为等差数列(Ⅱ)∵数列{21n a }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4，∴21na =1+4（n —1），∴3412n a n ，∵a n >0，∴341 n a n ，b n ＝1111 n n a a =4341414341n n n n ,∴S n ＝b 1＋b 2+...＋b n =43414. (459415)n n =4114 n 例4设40122N，则不超过1Nn 的最大整数为 。

(2008年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题) 解：Q,12212NNNn n n ,11)1)11)Nn ,2006200612(21)1)221Nn ,不超过Nn 的最大整数为200722 。

模型三：2n(2n+1－1)(2n－1) = 12n －1 － 12n+1－1例5设数列 n a 的前n 项的和14122333n n n S a ，n=1,2,3,…. （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S ，n=1,2,3,…，证明：132ni i T（2006年全国数学高考理科试题）. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23 所以a 1=2.再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列, 即a n +2n=4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n－1)T n = 2nS n = 32×2n(2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以, 1ni i T=321(ni 12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32模型四：kk a a a n n n )(1，且),3,2,1(0 n a n ，则1111 n n n a a a k例6设函数321()3g x x ax 的图象在1x 处的切线平行于直线20x y .记()g x 的导函数为()f x .数列 n a 满足：112a ,1()n n a f a .(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)试判断数列 n a 的增减性,并给出证明; (Ⅲ)当2,*N n n 时,证明:1211112111na a aL . 解：（Ⅰ）∵函数321()3g x x ax的导函数为2()2f x x ax ，由于在1x 处的切线平行于20x y ，∴1 22a 12a ，∴2()f x x x(Ⅱ)∵1()n n a f a ,∴2211n n n n n n a a a a a a ,∵112a ,故0n a ,所以10n n a a ,所以 n a 是单调递增.(Ⅲ) ∵1(1)n n n a a a ,∴111(1)n n n a a a =11_1n n a a ,∴11111n n n a a a ∴1121111a a a ,2231111a a a ,3341111a a a (1)1111n n n a a a令n S12231111111122n n a a a a a a 当2n 时,n S1212111112426111113721n a a a a a L 1 ∴1211112111na a aL 例7已知数列}{n a 满足n a a a n n 2,111 )3,2,1( n ，}{n b 满足,11 bn b b b n n n 21)3,2,1( n ，证明： 1121111 nk k k k k kb ka b a 。

(2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)证明：记nk k k k k n kb ka b a I 1111，则 n I I I2121。

而nk k k n k b a I 11))(1(1nk knk k k b a 111111。

因为n a a a n n 2,111 ，所以)1(11 k k a k 。

从而有1111)1(111111n k k ank nk k 。

（1）又因为kk b b k b b b k k k k k )(21，所以k b b k b b k b k k k k k 11)(11， 即1111 k k k b b k b 。

从而有 111111111b b b kb n nk k 。

（2） 由（1）和（2）即得 1 n I 。

综合得到121n I 。

左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。

以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力。