苏教版九年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
探索三角形相似的条件（基础）知识讲解
【学习目标】
1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；
2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；
3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明. 【要点梳理】
要点一、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图： l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 分别与l 1、l 2、l 3交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 、，则有 （1）
AB DE BC EF =（2）AB DE AC DF =（3）BC EF
AC DE
=
成立.
l 3
l 2
l 1
b
l 3
l 2
l 1
l 3
l 2
l 1
要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.
2.平行于三角形一边的直线的性质
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 要点诠释：
这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.
要点二、相似三角形的判定定理
【课程名称： 相似三角形的判定（1） 394497相似三角形的判定】 1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
要点四、三角形的重心
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
【典型例题】
类型一、平行线分线段成比例定理
B .CD
EF
C .
BO
OE
D.
BC
BE
【答案】D.
BC
BE
. 【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 举一反三：
【变式】如图已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值
.
【答案】
解：∵AB=AC ，AD ⊥BC,
∴BD=DC. ∵DN ∥CP, ∴BN=NP 又AM=MD. ∴AP=PN=
=2cm.
2. 如图所示，已知
中，E 为AB 延长线上的一点，AB=3BE ，DE 与BC 相交
于F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数. 【答案与解析】
解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴ △BEF ∽△CDF ，△BEF ∽△AED. ∴ △BEF ∽△CDF ∽△AED. ∴ 当△BEF ∽△CDF 时，相似比
；
当△BEF∽△AED时，相似比；
当△CDF∽△AED时，相似比.
【总结升华】此题考查了平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原
三角形相似.以及相似三角形的性质定理求得相似比.解题的关键是要仔细识图，灵活应
用数形结合思想.
类型二、相似三角形的判定
3.（2014•金平区模拟）如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．
（1）证明：△ABD∽△DCF；
（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；
（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的判定定理进行判断即可．
【答案与解析】
（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°，
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，
∴∠1=∠DFC，
∴△ABD∽△DCF；
（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△AEF，
故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC ∽△ADE，△ADF∽△ACD．
【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出
对应角关系是解题关键．
【课程名称：相似三角形的判定（2） 394499：例4及变式应用】
【变式】（2014秋•宁波期末）如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD=1，BD=2，AC=．求证：△ACD∽△ABC．
【答案】
证明：证明：∵==，=，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
4.（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，
AE=ED，
1
DF DC
4
，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案与解析】
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．。