2 特点 (1)任意质点均作圆周运动，
圆面为转动平面； (2)任意质点角位移dθ，
角速度w，角加速度β相同；

z
r
v
P
O
x
(3)方向正负规定：
符合右手螺旋关系为正。
3 角量公式
ω dθ dt



dω dt

d 2θ d 2t
6
刚体作匀角加速度定轴转动
ω dθ dt



dω dt

1 2
m v2
转动动能
Ek

1 2
I 2
dl -- 线分布λ＝m/L dm ds -- 面分布σ＝m/S
dv -- 体分布ρ＝m/V
I单位： 千克·米2
12
四 决定转动惯量的三因素
(1) 刚体的质量； 如：同形状的石磙和木磙； (2) 刚体的质量分布； 如：圆环与圆盘的不同 (3) 刚体转轴的位置。 如：细棒绕中心、绕一端。
刚体平动
质点运动
3
2 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动又 分定轴转动和非定轴转动。
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动 质心的平动
+ 绕质心的转动
5
三 刚体的定轴转动
1 概念：转轴固定不动的转动。
刚体内各质点都在其所在的与刚体转轴相垂直的平面内作
圆周运动，圆心在转轴的轴线上。


a
et

an
r
at
v
8
3-2 转动动能 转动惯量
一 刚体的平动动能
刚体的平动动能应为各质 元的动能之和
Ek平

n i 1
1 2
mi
v
2 i

1 2
Mv
2 c
vc为质心的速度
9
二 转动动能
刚体的转动动能应为各质元动 能之和，将刚体分割成n个质元 △m。
任取一质元 △mi ，距转轴 ri ，
Ek

lim
mi 0 n
n i 1
1 2mi
ri2
2


v
r
ri
1 ( r 2dm) 2 2
令 I r 2dm
转动动能
Ek

1 2
I 2
11
三 转动惯量
1 定义
n
I miri2 --离散分布
i
I r 2dm --连续分布 V
平动动能
Ek
m为刚体的质量；
d为轴A与C轴之间的垂直距离。
M
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz= Ix+ Iy
z⊥xy轴所在刚体平面
z y
Iz --- 垂直于转动平面的转轴的转动惯量；
x
Ix , Iy --- 在转动平面内两个正交轴的转动惯量。
18
例2 半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m， 试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。


m
R 2
R
r dr
dI r 2dm 2r 3dr
IO
dI
m
R 2 r 3dr
0
2
R4 4
2
m
R 2
R4 4
1 m R2 2
I细圆环 mR 2
B
A
h
O质
r v
ri
X
13
例1 质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：
(1) 转轴通过棒的中心O并与棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端B并与棒垂直； (3) 转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直。
B
A
h
dm
O质 x
解：以棒中心为原点建立坐标OX， 将棒分割成许多质元dm
则该质元动能：

r
v
ri
1 2
mi vi2

1 2
mi (ri )2

1 2
mi ri2 2
刚体的转动动能
Ek

n i 1
1 2
mi
ri
2
2

1n (
2 i1
mi ri 2 ) 2
10
质量不连续分布（离散）
Ek

1 2
(
n i 1
mi
ri2
)
2
质量连续分布 mi 0

d 2θ d 2t
0 t

0
0t

1 2
t 2

2


2 0Biblioteka 2(0)


a
et

an
r
at
v
7
角量与线量的关系
v



r
a




r
an



v
s R
v R
an

v2 R
2R
at

dv dt

R
在整个过程中，演员改变了什么？背后的物理机 制是什么？
2
3-1 刚体的定轴转动
一 刚体
定义：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
二 刚体的运动形式
1 平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间 的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线。
m / L dm dx
X
14
B
A
h
dm
X
O质 x
(1)求：IO
IO
r 2dm
x2dm L/ 2 x2dx L/2
(2)求：IB
L3 1 mL2
12 12
IB
r 2dm
( L x)2 dm 2
L/ 2 (L / 2 x)2 dx L3 1 mL2
L/2
33
15
B
A
h
dm
X
O质 x
(3) 求：IA
IA
r 2dm L/ 2 (h x)2 dx L/2
L3 h2L
12 1 m L2 m h2
12
IO

1 12
m L2
IB

1 3
m L2
16
B
A
h
dm
X
O质 x
注意：
IB

IO(质 心)

1 3
m L2
第三章 刚体的转动
飞轮的质量为什么大都分布于外边缘？
1
3.1 刚体的定轴转动
引言 花样滑冰里的一个动作叫陀转，在转动开始时演
员手臂和腿是展开的，此时转动速度较慢，而后演 员会突然把手臂抱紧，转速明显变快。
从物理的角度分析，演员受到三个力的作用：地 面的支持力，冰面的摩擦力，空气的阻力。均不能 对加快转速产生正面的影响。
R
R
19
解：(1) 细圆环的转动惯量
dm dl
dl
R
IO
R2dm R2dl L
R2 dl R2 2R L
m R2
问题:若转轴在圆环上时， 圆环的转动惯量？
I A IC md 2 mR2 mR2
20
(2) 盘面垂直的转轴的转动惯量。
dm ds 2rdr

1 12
m L2

m(
L)2 2
IA

IO(质 心)

(1 12
m L2

m h2 )
1 12
m L2

m h2
或
IB

IO

m(
L )2 2
I A Io mh 2
17
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和通过质心并与A
轴平行的转动惯量IO有如下关系：
IA= Ic+ md2
d
A
C