各类刚体的转动惯量的证明1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量2mR J =.在圆环上取一质元，其质量为dl dm λ=，dl 为圆弧元，λ为线密度（Rm πλ2=）。
该质元对中心垂直轴Z 的元转动惯量dl R dm R dJ 22λ==，圆环对该轴的转动惯量为220322mR R dl R dJ J R====⎰⎰ππλλ2.转轴沿圆环直径的转动惯量22mR J =.在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm ，其弧长为dl ，质元与圆心的连线和转轴Z 的夹角（微夹角）为θd 圆环的线密度Rmπλ2=，其中=dl θRd ，θπθπλd m Rd R m dl dm 22===.该质元的转动惯量为θθπθπθd mR d m R dm R dJ 2222sin 22)sin (===θθππθθπd mR mR d mR )2cos 44()22cos 1(2222-=-=则圆环对该转轴的转动惯量为22sin 84)2cos 44(220202222mR mR mR d mR mR dJ J =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰ππθππθθππ3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量22mR J =.在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，圆盘的质量面密度为2R mπσ=，该圆环的元面积为rdr dS π2=，圆环的质量为dr r dS dm σπσ2==.该圆环对转轴的转动惯量为dr r dm r dJ 322σπ==则整个圆盘的转动惯量为22121224403mR R r dr r dJ J RR=====⎰⎰σπσπσπ4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量)(222r R m J +=.在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm ，再在该微截圆筒上取一宽度为dr ，半径为r 的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM （由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量为dm 和dM 的圆环）.圆环的面密度)(22r R dm-=πσ.元圆筒的面积rdrdS π2=元圆筒的质量rdr dS dM σπσ2==元圆筒对Z 轴的转动惯量为drr r rdr dJ RrRr⎰⎰==322)2(πσπσ))((21)(21212222444r R r R r R r Rr+-=-==πσπσπσdm r R r R r R 2)()()(21222222-=-+=σπ则整个圆筒的转动惯量为)(2222022r R mdm r R dJ J m+=+==⎰⎰.5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量22mR J =.在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm ，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。
在圆盘上取一宽度为dr ，半径为r 的圆环，记该圆环的质量为dM 。
圆盘的面密度为2R dmπσ=.圆环的面积为rdr dS π2=，质量rdrdS dM πσσ2==圆环的转动惯量drr dM r dJ 3202σπ==圆盘的转动惯量为dmR R r dr r dJ dJ dJ RRR 2221224043000======⎰⎰⎰σπσπσπ则整个圆柱体的转动惯量为2222mR dm R dJ J m===⎰⎰.6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量12422mL mr J +=.在圆柱体上取一厚度为dy 的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为dx 的微细长方体，如上图。
该微细长方体一端的坐标为),(z x ，设该点与圆心的连线同x 轴的夹角为θ，圆柱体的半径为r ，则有θθsin ,cos r z r x ==。
圆柱体的密度为Lr m2πρ=细微长方体的体积为zdxdy dV 2=，质量为zdxdy dV dm ρρ2==，到转轴Z 的距离为22y x Rg +=则细长方体的转动惯量为dV y x dm Rg dJ ρ)(2220+==dxdy y x z )(222+=ρ则整个细微圆柱体的转动惯量为dxdyy x z dJ J dJ rr⎰⎰-+===)(22200ρ将θθsin ,cos r z r x ==代入上式得dxdyy r r dJ rr⎰-+=)cos (sin 2222θθρ)cos ()cos (sin 2222θθθρr d r y rdy rr⎰-+=⎰+-=022222)cos (sin 2πθθθρd r y dy r 由二倍角公式得214cos 2cos ,212cos cos ,22cos 1sin 222+=+=-=θθθθθθ则dyr y r r y r y dy r d r y r y dy r d r y dy r d r y dy r dJ )4(4sin 322sin 4842)4cos 82cos 284(2)212cos (22cos 12)cos (sin 242222222022222220222222ρπρπθθθρθθθρθθθρθθθρππππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=--+-=++--=+-=⎰⎰⎰则整个圆柱体的转动惯量为12441243)4(224322243222422mL mr Lr L r y r y r dyr y r dJ J LLL L +=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+==--⎰⎰ρπρπρπρπρπρπ7.转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量122ml J =.在棒上取一质元，质元的长度为dx ，距转轴Z 的距离为x ，设细棒的线密度为λ，则lm=λ，该质元的质量为dx dm λ=质元的转动惯量为dx x dm x dJ 22λ==则整个细棒的转动惯量为1212123222ml l dx x dJ J l l ====⎰⎰-λλ8.转轴通过细棒端点与棒垂直的转动惯量为32ml J =.在棒上取一质元，质元的长度为dx ，距转轴Z 的距离为x ，设细棒的线密度为λ，则lm=λ，该质元的质量为dx dm λ=.质元的转动惯量为dx x dm x dJ 22λ==则整个细棒的转动惯量为3312302ml l dx x dJ J l ====⎰⎰λλ9.转轴通过球体沿直径的转动惯量为522mr J =.如上图，在离球心距离为z 处取一厚度为dz 的圆盘，圆盘半径为Rg 。
在圆盘上取一宽度为dy ，半径为y 的圆环。
设球的密度为ρ，334r m πρ=，则圆盘的质量为dz Rg dm 2ρπ=，22z r Rg -=，圆盘的面密度为2Rgdmπσ=。
在圆盘的圆环上取一长度为dl 的质元，则质元的质量dydldS dm σσ==0质元的转动惯量为dydl y dm y dJ 2020σ==则圆环的转动惯量为⎰⎰===ydyy dydl y J J ππσσ2032002整个圆盘的转动惯量为⎰⎰⎰-===22033022z r Rgdy y dy y J dJ πσπσ2)(222z r -=πσdzz r dz z r Rg dm ρπρππσ=--==)()(22222则2)(22dzz r dJ -=πρ整个圆球的转动惯量为521582)(2522mr r dz z r J rr==-=⎰-πρπρ10.转轴沿球壳直径的转动惯量322mr J =.在球壳上取一圆心角为θd 的圆环，球壳半径为r ，则圆环的宽度为θrd ，设圆环的半径为Rg ，圆环上一点与球心O 连线同z 轴的夹角为θ，则θsin r Rg =。
球的面密度为24r m πσ=在圆环上取一长度为dl 的质元，则质元的质量为θσσrdld dS dm ==0质元的转动惯量为θσrdld Rg dm Rg dJ 2020==圆环的转动惯量为θθπσθσπd r dl rd Rg dJ dJ Rg342020sin 2===⎰⎰则整个球壳的转动惯量为3238cos cos 312sin 2sin 22403403434mr r r d rd r J ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===⎰⎰πσθθπσθθπσθθπσπππ11.转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯量62mL J =.长方体底面边长均为L ，高为h ，在长方体沿转轴z 方向取一长为dy ，宽为dx ，高为h 的细长方体，由于该细长方体横截面非常小，因此横截面上任意一处可看成一个坐标为),,(z y x 的点。
长方体的密度为2hL m =ρ细长方体的转动半径为22y x r +=其质量为hdxdydm ρ=0则细长方体的转动惯量为hdxdy y x dm r dJ ρ)(22020+==整个长方体的转动惯量为66)()()(2422222222222222mL hL dx y x dy h hdxdy y x hdxdy y x J L L L L L L L L ==+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----ρρρρσ12.转轴沿圆盘直径的转动惯量42mr J =.在圆盘上取一宽度为dz 长为Rg 2的长方形，22z r Rg -=如上图。
圆盘的面密度为2r m πσ=长方形质量为Rgdzdm σ2=长方形的转动惯量为dzz r dz Rg dl dzl dJ Rg3)(2322322302-===⎰σσσ则整个圆盘的转动惯量为4sin 34sin )cos (34)(34)(3222244022220232202322mr d r d r r r dz z r dzz r J r r=-=--=-=-=⎰⎰⎰⎰ππθθσθθθσσσ。