dJ R2dm dm m dl
2 R
dJ mR dl
2
薄圆环对通过圆心垂 直环面轴的转动惯量
J 2 R mR dl
0 2
J mR2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
例题5 计算半径为R 、质量为M匀质薄圆盘对通过其中 心O并垂直于盘面的Z轴的转动惯量
距离中心r、宽度为dr的同心环对转轴的转动惯量
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
5.3 刚体的转动惯量的计算
转动惯量 J miri2
i
—— 转动惯量是刚体转动惯性的量度
—— 大小取决于刚体的质量、形状、 质量分布和转轴的位置
对于质量连续分布的刚体 J r2dm m 一维 dm=λdl λ——线密度：单位长度的质量 二维 dm=σds σ——面密度：单位面积的质量 三维 dm=ρdV ρ——体密度：单位体积的质量
)
2
rdr
R2
JO r2dm
R1
JO
R2 R1
2M (R22 R12 )
r3dr
JO
1 2
M (R22
R12 )
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
—— 内外半径分别为R1和R2圆盘，对中心转轴的转动惯量
方法__2 —— 负质量方法
内外半径分别是R1和R2圆盘对通过中心垂直于盘面轴的转 动惯量可以看作是半径为R2，质量面密度为的圆盘和半径 为R1，质量面密度为’的圆盘共同产生的
o
R2
R1
dm
(
m R22
R12
)
2rdr
o
J
m
R2
r 2 2rdr
( R22 R12 ) R1
1 2
m( R22
R12 )
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
例、质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯
量 在球面取一圆环带，半径
R sin
d
r Rsin
dm
m
4R2
2
rRd
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
M
'
R12[
M (R22
R12
)
]
M
''
R22
[
(
M R22
R12
)
]
JO
1 2
M
'
R12
1 2
M
''
R22
JO
1 2
M (R22
R12 )
—— 结果和Leabharlann 面一致05_03_转动惯量的计算 —— 力学
例、内半径为R1 外半径为R2 质量为m 的匀质中空圆柱绕其 对称轴的转动惯量
2 mR 2 5
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
平行轴定理
已知刚体对通过质心转轴的转动惯量 J C
另有一个与质心转轴CZ平 行的转轴OZ’，该转轴与质 心转轴的距离为h，刚体对 OZ’转轴的转动惯量为
JO JC Mh2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
例题6 计算正方形框架ABCD对通过O的转轴的转动惯量， 每一个边的质量为m
正方形框架ABCD对通过O的垂直转轴的转动惯量
JO JC (4m)h2
JO
JC
4m( 1 2
l)2
JO
7 3
ml 2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
*垂直轴定理
z
对于薄板刚体，若建立坐标系
Oxyz，其中z轴与薄板垂直，
m
Oxy平面在薄板内，则薄板刚体
圆盘 C
R
对z 轴的转动惯量等于对x 轴 y 的转动惯量和对y 轴的转动惯
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
转动惯量的计 算 例题3 长为L、质量为M的匀质细杆，求该杆对通过中点 并与杆垂直的轴的转动惯量
建立如图所示的坐标 —— 写出质量元的转动惯量
dJ y x2dm
x2 m dx L
匀质细杆对通过中点与 杆垂直的轴的转动惯量
J y
L/2 L/2
x2
M L
dx
量之和
x
Jz Jx Jy
每一边对通过一边中心转轴的转动惯量
J1
1 12
ml 2
—— 每一边对ABCD质心转轴的 转动惯量
J1
'
1 12
ml 2
m( 1 2
l)2
1 3
ml 2
四条边对通过ABCD质心转轴的转动惯量 JC 4J1 '
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
四条边对通过ABCD质心转轴的转动惯量
JC
4J1
'
4 ml2 3
Jy
1 12
ML2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
—— 匀质细杆对通过一端与杆垂直的轴的转动惯量
J y'
L 0
x2
M L
dx
J y'
1 3
ML2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
例题4 计算质量为m，半径为R的均匀薄圆环对通过圆心 垂直于环面轴的转动惯量
圆环上质量元dm对转轴 的转动惯量
dJO r2dm r2 2 rdr
r 3 2
M
R2
dr
圆盘对垂直圆心转轴的转动惯量
JO
R 0
r 3 2
M
R2
dr
JO
1 2
MR2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
—— 内外半径分别为R1和R2圆盘，对中心转轴的转动惯量
质量面密度
M
(R22
R12 )
方法__1
dm
M (R22
R12
J r 2dm
2
2 mR 2 sin3 d
0
2 mR 2 3
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
例、质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
M
R
dm
m
4 R3
4 r 2dr
3m R3
r 2dr
3
J
dJ
2 3
dm
r2
2m R3
R 0
r 4dr