5.4 统计与概率的应用【课标要求】课程标准：了解统计与概率在实际生活中的应用，能应用统计与概率的知识解决实际问题.学习重点：运用统计与概率的知识解决实际问题.学习难点：如何把实际问题转化为统计与概率的问题.【知识导学】知识点解答概率应用题的步骤概率在实际生活中有着广泛的应用，要善于将实际问题转化为概率模型去解决，求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的表示它们．(2)理清各事件之间的关系，列出．(3)根据事件之间的关系，准确地运用概率公式求解，若直接计算符合条件的事件个数较繁琐，可间接地计算事件的个数，求得事件的概率，然后求出符合条件的事件的概率．【新知拓展】极大似然法在一次试验中概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大，并以此作为做出决策的理论依据．因此我们在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来科学地做出决策．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一件事成功的概率是0.1%，那么它必然不会成功．()(2)某校九年级共有学生400人，为了了解他们的视力情况，抽查了20名学生的视力并对所得数据进行整理，若视力在0.95～1.15范围内的频率为0.3，则可估计该校九年级学生的视力在0.95～1.15范围内的人数为120.()(3)甲袋中有12个黑球，4个白球，乙袋中有20个黑球，20个白球，摸出1个球，要想摸出1个黑球，由于乙袋中黑球的个数多些，故选择乙袋成功的机会较大．()2．做一做(1)根据北京市教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为()A ．460B ．480C ．不少于480D ．不多于480 (2)玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，从中随机抽出一件产品，这件产品是一等品或二等品的概率为98%，这件产品是二等品或三等品的概率为5%，这件产品是一等品或三等品的概率为97%，那么这件产品是一等品的概率为________．【题型探究】题型一 统计与概率在整体估计中的应用例1 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物．【规律方法】利用频率与概率的关系求未知量的步骤(1)抽出m 个样本进行标记，设总体为未知量n .则标记概率为m n. (2)随机抽取n 1个个体，出现其中m 1个被标记，则标记频率为m 1n 1. (3)用频率近似等于概率，建立关系式m n ≈m 1n 1. (4)求得n ≈mn 1m 1.【跟踪训练1】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．题型二统计与概率在游戏公平性中的应用例2李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．[变式探究]本例中规则改为“两枚骰子的点数之积为偶数时，李红得1分，否则张明得1分．”这样是否公平？【规律方法】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．【跟踪训练2】如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4份，分别标上3,4,5,6四个数字．现为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指向分界线，则重新转一次)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改才能使游戏规则对双方公平？题型三统计与概率在社会调查中的应用例3某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了两个问题．问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？(一年以365天计算)问题2：你是否经常吸烟？调查者设计一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？【规律方法】在进行社会调查或心理咨询时，由于有些问题比较敏感，或是涉及到隐私等难于启齿的问题，可以通过概率解决，设计问题时要注意巧妙性，一是易于回答，二是只有被调查者知道答案．【跟踪训练3】某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调整不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？题型四统计与概率在决策中的应用例4设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和99个黑球，先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中随机地抽取一球，结果取得白球．问：这球是从哪个箱子中取出的？【规律方法】在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性大．在解决有关实际问题时，要善于灵活地运用这一思想来进行科学决策．【跟踪训练4】有A，B两种乒乓球，A种乒乓球的次品率是1%，B种乒乓球的次品率是5%.(1)甲同学买的是A种乒乓球，乙同学买的是B种乒乓球，但甲买到的是次品，乙买到的是合格品，从概率的角度如何解释？(2)如果你想买到合格品，应选择购买哪种乒乓球？题型五统计与概率在遗传学上的应用例5孟德尔豌豆试验步骤及结果：第一年：把黄色和绿色的豌豆杂交，收获的豌豆都是黄色的；把圆粒和皱粒豌豆杂交，收获的都是圆粒豌豆，把长茎和短茎豌豆杂交，收获的都是长茎豌豆．结论：两种性状的豌豆杂交时，只表现其中的一种特征，另一种特征完全消失了．第二年：种下第一年收获的黄色豌豆，圆粒豌豆和长茎豌豆．豌豆杂交试验的第二代结果(如下表)：发现：每次试验的结果如此稳定，比例都接近3∶1，孟德尔认为其中一定有某种遗传规律，孟德尔从豌豆中洞察到的遗传规律是一种统计规律，试给出概率的解释．【规律方法】遗传规律是一种统计规律，它与连续抛一枚质地均匀的硬币两次的试验相同，两次出现反面的概率为14，至少出现一次正面的概率为34，在多次试验中，至少出现一次正面的次数与两次均出现反面的次数之比约为3∶1.【跟踪训练5】设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定的，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人为纯隐性，具有rd 基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？题型六统计与概率的综合应用例6某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．【规律方法】与统计图表综合问题的“三步曲”【跟踪训练6】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．【随堂达标】1．为调查某森林内松鼠的数量，可以使用以下方法：先从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，假设尾巴上有记号的松鼠共有5只．试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量．2. 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．3．某网站针对“春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A ，B 两种放假方案，调查结果如下表(单位：万人)：已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为35.(1)求n 的值；(2)从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B 方案”的概率．【参考答案】【知识导学】知识点 解答概率应用题的步骤 (1)符号 (2)关系式 (3)对立对立【基础自测】1．答案 (1)× (2)√ (3)× 2．答案 (1)C (2)公平 (3)95%【题型探究】题型一 统计与概率在整体估计中的应用 例1[解] 设保护区内这种野生动物有x 只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A ＝{逮到带有记号的动物}，则由古典概型可知，P (A )＝1200x .第二次被逮到的1000只中，有100只带有记号，即事件A 发生的频数m ＝100，由概率的统计定义可知P (A )≈1001000＝110，故1200x ≈110，解得x ≈12000.所以，保护区内约有12000只该种动物． 【跟踪训练1】解 设水库中鱼的尾数为n ，n 是未知的，现在要估计n 的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A ＝{捕到带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P (A )＝2000n.①第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数m ＝40，P (A )≈40500＝225.②由①②两式，得2000n ≈225，解得n ≈25000.所以，估计水库中有鱼25000尾.题型二 统计与概率在游戏公平性中的应用 例2[解] 不公平．所有可能情况如下表：由表格可知P (和大于7)＝1536＝512，P (和小于或等于7)＝2136＝712.由题意可知，李红得分的概率为512，张明得分的概率为712，所以这个游戏对李红不公平．对双方公平的游戏规则：点数之和大于7时，李红得1分，点数之和小于7时，张明得1分，点数之和等于7时，双方均不得分． [变式探究]解 所有情况有36种，乘积为偶数的有27种， ∴P (积为偶数)＝34，P (积为奇数)＝14.∴这样游戏不公平．【跟踪训练2】 解 列表如下：由表可知，所有可能的结果有12种，且这12种结果发生的可能性是相等的，和为6的结果只有3种．所以P (和为6)＝312＝14，P (和不为6)＝1－14＝34，则甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．如果将规则改为“若和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则是公平的．(答案不唯一)题型三 统计与概率在社会调查中的应用 例3[解] 由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白球或红球的可能性都是0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回答了第二个问题．在摸出白球的情况下，回答父亲阳历生日日期是奇数的概率是186365≈0.51.因而在回答第一个问题的100人中，大约有51人回答了“是”，所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有7人回答了“是”，即估计此地区大约有7%的中学生吸烟． 【跟踪训练3】解 用A 表示事件“对这次调整表示反对”，B 表示事件“对这次调整不发表看法”，则A 和B 是互斥事件，并且A ＋B 就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”．由互斥事件的概率加法公式，得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝37100＋36100＝0.73.因此，随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73. 题型四 统计与概率在决策中的应用 例4[解] 甲箱中有99个白球和1个黑球，随机地抽取一球，得到白球的可能性是99100；乙箱中有1个白球和99个黑球，随机地抽取一球，得到白球的可能性是1100.由此看出，这一白球从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多．由概率非常小的事件在一次试验中几乎不可能发生，知既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从抽到白球概率大的箱子中抽取的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中取出的． 【跟踪训练4】解 (1)因为A 种乒乓球的次品率是1%，所以任选一个A 种乒乓球是合格品的概率是99%. 同理，任选一个B 种乒乓球是合格品的概率是95%.由于99%>95%，因此“买一个A 种乒乓球，买到的是合格品”的可能性比“买一个B 种乒乓球，买到的是合格品”的可能性大．但并不表示“买一个A 种乒乓球，买到的是合格品”一定发生．乙买一个B 种乒乓球，买到的是合格品，而甲买一个A 种乒乓球，买到的却是次品，即可能性较小的事件发生了，而可能性较大的事件却没有发生，这正是随机事件发生的不确定性的体现．(2)因为任意选取一个A 种乒乓球是合格品的可能性为99%，因此如果做大量重复买一个A种乒乓球的试验，出现“买到的是合格品”的频率会稳定在0.99附近．同理，做大量重复买一个B 种乒乓球的试验，出现“买到的是合格品”的频率会稳定在0.95附近．因此若希望买到的是合格品，则应选择购买A 种乒乓球． 题型五 统计与概率在遗传学上的应用 例5[解] 纯黄色和纯绿色的豌豆均有两个特征(用符号YY 表示纯黄色豌豆的两个特征，符号yy 代表纯绿色豌豆的两个特征)：纯黄色的豌豆YY ，纯绿色的豌豆yy.当这两种豌豆杂交时，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征，于是第一代收获的豌豆的特征为：第一代(第一年收获的豌豆)Yy.当把第一代杂交豌豆再种下时，下一代同样是从父母辈中各随机地选取一个特征，所以第二代豌豆的特征如下：第二代(第二年收获的豌豆)YY ，Yy ，yy ，这里对于豌豆的颜色来说，Y 是显性因子，y 是隐性因子，当显性因子与隐性因子组合时，表现为显性因子的特征，即YY ，Yy 都呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现出隐性因子的特征，即yy 呈绿色．由于下一代的两个特征是从父母辈中各随机选取的，因此在第二代中YY ，yy 出现的概率都是14，Yy 出现的概率是12，所以黄色豌豆(YY ，Yy)数∶绿色豌豆(yy)数≈3∶1. 【跟踪训练5】解 如图，由图可知，他们的孩子可能的基因有4种，即dd ，dr ，rd ，rr ，它们的概率分别为14，14，14，14. (1)当基因为dd ，dr ，rd 时，孩子显露显性基因决定的特征，所以他们的1个孩子由显性决定特征的概率是34.(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为34.题型六 统计与概率的综合应用 例6[解] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． (2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥， C ＝C B1C A1＋C B2C A2. P (C )＝P (C B1C A1＋C B2C A2) ＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2) ＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为45，15，12，25，故P (C A1)＝45，P (C A2)＝15，P (C B1)＝12，P (C B2)＝25，P (C )＝12×45＋25×15＝0.48.【跟踪训练6】解 (1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a ＋0.20＋0.26＋0.5×a ＋0.06＋0.04＋0.02＝1. 解得a ＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x <3.由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【随堂达标】1．解 设森林内的松鼠总数为n ，假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从森林中任捕一只，设事件A ＝{捕到带有记号的松鼠}，则由古典概型可知，P (A )＝100n，①第二次从森林中捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A 发生的频数m ＝5，由频率与概率的关系可知，P (A )≈550＝110.② 由①②可得，100n ≈110，所以n ≈1000.所以，此森林内约有松鼠1000只．2. 解 (1)选择B ，猜“不是4的整数倍数”．“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，是所有猜法中概率最大的，故乙获胜的机会最大．(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A 猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．(3)设计为猜“是大于5的数”或“不大于5的数”，也可以保证游戏的公平性． 3．解 (1)因为从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为35，所以35＝n ＋800200＋400＋800＋100＋100＋n，解得n ＝400.(2)在抽取的6人中，支持A 方案的有8001200×6＝4(人)，记为1,2,3,4，支持B 方案的有4001200×6＝2(人)，记为a ，b ，从抽取的6人中任意选取2人，所有的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2,4)，(2，a )，(2，b )，(3,4)，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，b )，(a ，b )，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的．恰好有1人“支持B 方案”包含的样本点有(1，a )，(1，b )，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，b )，共8个．故恰好有1人“支持B 方案”的概率P ＝815.。