T AFA
两边分别前后各乘一个反变换矩阵
BTB BAFAB
如果B = A–1
F BTB
第5章
2-D傅里叶变换
F(u,v)
1 N
N 1
x0
N 1
f (x, y)exp[ j2(ux vy) / N ]
y0
f (x, y)
1
N 1
N 1
F(u,v)exp[ j2(ux vy) / N ]
x0 y0
2-D图像的反变换
u,v 0, 1, , N 1
N 1 N 1
f (x, y) T (u,v)k(x, y,u,v)
u0 v0
x, y 0, 1, , N 1
h(x, y, u, v)为正变换核，k(x, y, u, v)为反变换核
第5章
可分离和对称变换
可分离变换中的变换核是可分离的
第4章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分 析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某 种形式转换到另外一些空间中，并利用这些空 间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再 转换回图像空间以得到所需的处理效果
变换是双向的，或者说需要双向的变换。 在图像处理中，一般将从图像空间向其他空间 的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空 间的变换称为反变换或逆变换
图像傅立叶变换
原图像
幅度谱
相位谱
原图像
Байду номын сангаас
幅度谱
相位谱
•幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多 少
•相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位 置
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 反映出原始图像 的灰度级变化， 这正是图像的轮 廓边
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布
h(x, y, u, v) h1(x, u)h 2( y, v)
对称变换中的变换核是对称的
h(x, y, u, v) h1(x, u)h1( y, v)
具有可分离变换核的2-D变换可分成两个步 骤来计算，每个步骤使用一个1-D变换
第5章
可分离和对称变换
首先沿f(x, y)的每一列进行1-D变换
傅立叶变换的物理意义
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分 布是以原点为圆心，对称分布的。
将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率 分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期 性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正 弦干扰，移 频到原点的频谱图上可以看出除了中 心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点 集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以 很直观的通过在该位置放置带阻 滤波器消除干扰
图像中的颗粒状对 应的幅度谱呈环状 ， 但即使只有一颗颗 粒，其幅度谱的模 式还是这样。
这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的
傅立叶变换的性质
加法定理 位移定理 相似性定理 能量保持定理
加法定理
N 1
T (x,v) f (x, y)h2( y,v) x,v 0, 1, , N 1
y0
然后沿T(x, v)的每一行进行1-D变换
N 1
T (u,v) T (x,v)h1(x,u)
x0
u,v 0, 1, , N 1
第5章
矩阵形式的变换表示
如果变换核是可分离的和对称的函数时，变 换可用矩阵形式表示。以正变换为例
•离散傅立叶正变换:
F(u)
N
1
f(x
)e
j
2ux N
x 0
u 0,1,2, ,N 1
离散傅立叶逆变换:
f (x)
1
N 1
j 2ux
F (u)e N
x 0,1,2,, N 1
N u0
可分离和对称变换
2-D图像的正变换
N 1 N 1
T (u,v) f (x, y)h(x, y,u,v)
N u0 v0
u,v 0, 1, , N 1 x, y 0, 1, , N 1
第5章
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的 指标，是灰度在平面空间上的梯度。
对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是 图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像 上各点并不存在一一对应的关系，即使在 不移频 的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的 明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点 差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的 大小
如：在图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频 率值很低；而对于在图像中灰度变化剧烈的区域 ，对应的频率值较高。
傅立叶变换的物理意义
梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们
首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较 柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度 相对较小），反之，如果 频谱图中亮的点数 多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明 且边界两边像素差异较大的。
问题的提出
目的：为达到某种目的将原始图象变换映射到另 一个空间上，使得图象的某些特征得以突出，以 便于后面的处理和识别。
图像变换： 原则上，所有的图像处理都是图像变换。 图像变换是指数字图像经过正交变换，把原
先二维空间域中的数据，变换到另外一个“变换 域”形式描述的过程。
g(x, y) [ f (x, y)]
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号 ，都 可以表示为不同频率的正弦波信号的无限 叠加。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法 。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这 样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个 信号。
因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的 时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号 的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号 进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变 换将这些频域信号转换成时域信号。
变换后的图象，大部分能量都分布 于低频谱段，这对以后图象的压缩、 传输都比较有利。使得运算次数减少， 节省时间。
傅里叶变换
一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个 玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜 色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（ 或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将 函数基于频率分解为不同的成分。当我们 考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅 立叶变换使我们能通过频率成分来分析一 个函数。