一、中考数学压轴题1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728CG AG =，求点P 的坐标．2．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：①个位上的数字是千位上的数字的两倍；②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．例如：1423于4132为“相关和平数”求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值． （拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．4．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．6．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC 、BC ，已知点A 、C 的坐标为()2,0A -、()0,6C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是线段BC 下方抛物线上的一动点，如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 的坐标；（3）如图2，若点M 是AOC △内一动点，且满足AM AO =，过点M 作MN OA ⊥，垂足为N ，设AMN 的内心为I ，试求CI 的最小值．7．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒3的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 8．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+，32AB =，45ABC ∠=︒，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．问题探究（1）如图1，若30PBC ∠=︒，则AP 的长为__________．（2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；②请直接写出PMN 面积的最小值．9．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于A B 、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．10．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．11．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．（1）求点 B 的坐标；（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．12．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．13．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣12x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．14．（1）（发现）如图1，在ABC中，//DE BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD BE⊥，3CD=，5BE=，求BC DE+的值．思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC DE +的值为______．（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，求AC 的长．（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，FD FB =，且30BFD ∠=︒，60EBF ∠=︒，判断AC 与DF 的数量关系并证明．15．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．16．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上90ACB ∠=︒，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．（1）求点A 的坐标；（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，当12d =时，请你直接写出点P 的坐标．18．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，13623EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．19．定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）当m＝0时①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；②点（12，﹣98）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝；（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣12m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为6，求m的值．20．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为R△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝45，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P 画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．21．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OACB的顶点A、B分别在x轴和y轴上，已知OA=5，OB=3，点D的坐标是（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA的方向运动，当点P与点A重合时，运动停止，设运动的时间为t秒．（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =2，AC =4．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC 、AD 于点E 、F ．（1）当α=_____°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）在旋转的过程中，从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形， ①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．23．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．24．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．25．如图，抛物线2(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴交于点B ．()1求这条抛物线的顶点坐标；()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．C解析：（1）21322y x x =--；（2）1m t =-；（3）933,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN ⊥BE 于点N ，过点P 作PM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明Rt △PME ≌Rt △ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK ⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK ≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=72BG=6m ，过点G 作GL ⊥x 轴于点L ，在Rt △ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入3322t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标.【详解】解：（1）22223(23)(1)4y ax ax a a x x a x a =--=--=--，∴顶点C 的坐标为(1,4)a -，点C 的纵坐标为2-，42a ∴-=-，12a ∴=，21322y x x ∴=--； （2）点P 的横坐标为t ，213(,)22P t t t ∴--， 21322y x x =--与x 轴的交点为(1,0)A -，(3,0)B ， ∴设AP 的直线解析式为y kx b =+，则有201322k b kt b t t -+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩， 解得3232t k t b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 3322t t y x --∴=+， //CD y 轴交AP 于点D ，(1,3)D t ∴-，321CD t t ∴=-+=-，1m t ∴=-；（3）如图：设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，CD 垂直平分AB ，ED AD =，//DH BE ∴，12DH BE =， BE x ∴⊥轴， 2(3)26BE t t ∴=-=-，过点F 作FN BE ⊥于点N ，过点P 作PM BE ⊥交BE 的延长线于点M ，EF BF =，132EN BN BE t PM ∴===-=， EP FE =，Rt PME Rt ENF(HL)∴∆≅∆，MPE FEN ∴∠=∠，90FEN MEP MPE MEP ∴∠+∠=∠+∠=︒，90PEF ∴∠=︒，45EPF EFP ∴∠=∠=︒，过点C 作CK CG ⊥交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，90KCG ∴∠=︒，45K KGC ∴∠=∠=︒，CK CG ∴=，90AHC BHC ∠=∠=︒，2AH BH CH ===，45CAH ACH HBC HCB ∴∠=∠=∠=∠=︒，90ACB ∴∠=︒，AC CB =，90KCA ACG GCB ∴∠=︒-∠=∠，()ACK BCG SAS ∴∆≅∆，45BGC K AGC ∴∠=∠=∠=︒，AKBG =，90KGB ∴∠=︒，令8AG m =，则CG =，CK CG =，90KCG ∠=︒，14KG m ∴=，6BG AK KG AG m ∴==-=，过点G 作GL x ⊥轴于点L ，在Rt ABG ∆中，104AB m ===，25m ∴=， 165AG ∴=， 11861022ABG S m m m GL ∆=⨯⨯=⨯⨯， 4825GL ∴=，AL ∴=3925OL AL AO ∴=-=， 39(25G ∴，48)25， AG 的解析式为3322t t y x --=+， ∴483393252252t t --=⨯+， 92t ∴=， 9(2P ∴，33)8．【点睛】本题考查二次函数的综合题．熟练掌握二次函数的图象及性质，通过辅助线构造三角形全等，逐步求出G 点的坐标从而求出t 的值是解题的关键．2．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m +n =12，得到122a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明．【详解】解：（1）根据“和平数”的定义可得：最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，故答案为1001；9999；（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又∵029a ≤≤，∴a 的可能取值为1，2，3，4；∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，∴m+n =0或m+n =12，∵“和平数”中a+m =n+2a ，当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意，∴m+n =12，∴a+m =12−m +2a ，解得：122a m +=， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数，∴m 的可能取值为7，8；当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754；当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848；综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++110011001111a b c d =+++1100()11()a b c d =+++由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ，∴原式1100()11()a b a b =+++1111()a b =+，∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除，∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．【点睛】本题考查新定义运算、因式分解的应用；能够读懂题意，根据数的特点，确定数的取值范围，进行正确的因式分解是解题关键．3．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）10AB BC =；（3）①AD CD =． 【解析】【分析】 （1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到CF =，则(2AC x =+=DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC =，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==．∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =．∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5210AB k k BC ==． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3， ∵35AE BC =， ∴BC=5，∵5AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：1BE ==，∴156EC =+=，∴AC ==∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°，∴CF =，∴(2AC x ==解得：DF x ==∴2CD DF ==②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．∴5BC =．∵AB BC =， ∴10AB．∴1BE ==．∴6CE BE BC =+=，AC ==分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==．∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AF AE EC =． ∴335436k k =，解得3510k =． ∴355CD k ==2222959595102AF DF AD ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． ∴9352355AD CD === 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．4．E解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）27BK =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②1(62)4【解析】【分析】（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）3EF EC =；理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，120BAD ︒∴∠=，∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，90AEB AFD ︒∴∠=∠=Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，60EAF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等边三角形，EF AE ∴=.连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=3AE EC ∴=，3EF EC ∴=（2）如图：∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=.AF CD ⊥，垂足为F ， 1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=， 23AF a ∴=在Rt ABF 中，22BF AB AF =+，7BF a ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，90AKB FAB ︒∴∠=∠=ABK FBA ∠=∠~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，AB BK FB BA∴=， 27BK a ∴=， （3）如图：①AGH 是等边三角形.理由：连接AC .,60AB BC ABC ︒=∠=，ABC ∴为等边三角形，,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，120ABG ︒∴∠=.//AB CD ，60BCH ABC ︒∴∠=∠=，120ACH ︒∴∠=ABG ACH ∴∠=∠，又BG CH =，ABG ACH ∴≅，,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，AGH ∴为等边三角形；②ADC 为等边三角形，2,1AD DC AC CF DF ∴=====，AF ∴=.1(32ADH S =， 11(322DH ∴⨯=，1DH ∴=1CH DH CD ∴=-=，HF DH DF =-=AF HF ∴=，AHF ∴为等腰直角三角形，45AHF ︒∴∠=.过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .在Rt CMH 中，sin CM CHM CH∠=， 12CM ∴=， 在Rt AMC 中，sin CM MAC AC ∠=， 1sin 4MAC ∴∠=. 又GAB HAC ∠=∠， 1sin sin 4GAB HAC ∴∠=∠=； 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．5．A解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤.【解析】【分析】（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可．【详解】（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，32DC ==⨯∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；()1,1E -到线段BC 的距离为1，3EC ==>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；()0,2F 到线段BC 的距离为2，32FC ==<⨯∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点；（2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ，当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=，得11m =21m =当点在O 内部时，43(4+≥解得：m≥0或m≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为12m ≤≤-或01m ≤≤（3）如图所示，当点G(1,0)为T "倍增点"时，T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值，当点H(0,1)为T “倍增点”时，则T(63，此时T 的横坐标为最小值；∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．【点睛】在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．6．C解析：（1）26y x x =--；（2）Q 的坐标为()2,0或()4,0；（3）CI 的最小值为42【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）根据//CP BQ 即点C 坐标，可以求出P 点坐标，算出CP 长，即可写出Q 点坐标; （3）利用AIM AIO ≌△△可判断出I 的运动轨迹是圆弧，设I 运动轨迹所在的圆心为G 计算出圆心G 的坐标及半径为，当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短.【详解】（1）由题意得：A 点坐标为()2,0-，C 点坐标为()0,6-带入2y x bx c =++中得：4206b c c -+=⎧⎨=-⎩， 解得：16b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为26y x x =--．（2）∵点Q 在x 轴上，又点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形∴//CP BQ ，由对称性可知，P 点的坐标为()1,6-∴1PC =，∴1BQ =．∴Q 的坐标为()2,0或()4,0．（3）连接AI ，MI ，OI∵I 为AMN 的内心∴AI 、MI 分别平分MAN ∠，AMN ∠∴MAI OAI ∠=∠又∵MN AN ⊥，∴90ANM ∠=︒∴135AIM ︒∠=．又∵MA OA =，AI AI =∴AIM AIO ≌△△∴135AIO AIM ∠=∠=︒∴I 的运动轨迹是圆弧．设I 运动轨迹所在的圆心为G∵135AIO ∠=︒，∴90AGO ∠=︒又∵AG OG =，2AO =∴圆心G 的坐标为()1,1-2当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短∵()()2210165052CG =--++== 2GI =∴CI 的最小值为52242=综上所述：CI 的最小值为42【点睛】此题为二次函数的综合应用，第一问利用待定系数法求解属基本题型；第二问判断出//CP BQ 是解题关键；第三问判断出I 的运动轨迹是解题关键.7．C解析：（1）2233(06)53103343(68)333031503(810)2t t S t t t t t t ⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎪⎩，S 的最大值为63；（2）存在，m 的值为165或32163-或163或1423-. 【解析】【分析】（1）分06t 、68t 和810t 三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．（2）分两种情形：①如图31-中，由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，即8m =．当RP BR =时，当PB BR =时，当PR PB =时，分别构建方程求解即可．②如图32-中，作RH BC ⊥于H ．首先证明90BPR ∠=︒，根据BP PR =构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）如图21-中，当06t 时，点P 与点Q 都在AB 上运动，PM AC ⊥，//NQ PM ，90ANQ AMP ∴∠=∠=︒，AQ t =，2AP t =+，60A ∠=︒，1122AN AQ t ∴==，33QN ==，112AM t =+，33PM ． ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为33S +． 如图22-中，当68t 时，点P 在BD 上运动，点Q 仍在AB 上运动．则AQ t =，12AN t =，142CN t =-，3QN t =，6BP t =-，10DP t =-，3(10)PM t =-，而43BC =，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为：BCNQ BCMP S S S =+四边形四边形()()3111434433106222t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭⎝ 253103343t t =-+-， 如图23-中，当810t 时，点P 和点Q 都在BD 上运动．则202DQ t =-，(202)3QN t =-，10DP t =-，(10)3PM t =-．∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为2333031503S t =-+ 故S 关于t 的函数关系式为2233(06)53103343(68)3331503(810)t S t t t t ⎪⎪⎪=+-<⎨-+<⎪⎩， 当06t 时，S 随t 增大而增大，当68t <时，S 随t 增大而增大，当810t <时，S 随t 增大而减小，∴当t=8时，S 最大，代入可得S=63（2）如图31-中，由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，8m =．当RP BR =时，3PB BR =，则有383m m -=⋅，解得165m =， 当PB BR =时，则有38m m -=，解得32163m =-， 当PR PB =时，3BR PB =，则有33(8)m m =-，解得163m =． 如图32-中，作RH BC ⊥于H ．在Rt △CHR 中，2(8)CR m =-，30RCH ∠=︒，182RH CR m ∴==-， 8BP m =-，RH BP ∴=，HR BP ∥，∴四边形RHBP 是平行四边形，90RHB ∠=︒，∴四边形RHBP 是矩形，90BPR ∴∠=︒，当BP PR =时，则有83(12)m m -=-，解得1423m =-综上所述，满足条件的m 的值为165或32163-163或1423-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，多边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．8．B解析：（1）333-；（2）18；（3）①2716；②972625 【解析】【分析】（1）过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于点F ，利用等腰直角三角形ABF 求得AF 和BF 的长，再利用Rt △PBF 求得PF 的长，进而得解； （2）作点B 关于直线AD 的对称点B'，连接B'C ，交AD 于点P'，连接BP'，根据两点之间线段最短可知当B'，P ，C 三点共线时，BPC △周长取得最小值，再利用勾股定理计算即可；（3）①②根据EM PB ⊥，EN PC ⊥可得点E 、M 、P 、N 在以PE 为直径的圆上，利用圆周角定理和直角三角形两锐角互余可证得△MPN ∽△CPB ，进而可知当MN 最大时，PMN 面积的最大，当MN 最小时，PMN 面积的最小，由圆的性质可知当MN 为直径时MN 最大，当MN ⊥PE 时，MN 最小，最后利用勾股定理、等积法和相似三角形的性质求解即可．【详解】 解：（1）如图，过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于点F ，∵AD ∥BC ，∠ABC ＝45°，∴∠FAB ＝∠ABC ＝45°，∵BF ⊥AD ，∴在Rt △ABF 中，AF 2+BF 2＝AB 2，∵32AB =∴AF ＝BF ＝22AB ＝23232⨯=， ∵AD ∥BC ，∠PBC ＝30°，∴∠FPB ＝∠PBC ＝30°，∵在Rt △PBF 中，tan ∠FPB ＝BF PF ∴tan30°＝33PF =， ∴33PF =∴333AP PF AF =-=；（2）如图，作点B 关于直线AD 的对称点B'，连接B'C ，交AD 于点P'，连接BP'，∵点B 与点B'关于直线AD 对称，∴AD 垂直平分BB'，BF ＝B'F ＝3，∴P'B ＝P'B'，BB'＝6，∴当点P 在点P'时，PB+PC 取得最小值，最小值为B'C 的长，此时△BPC 的周长最小， 在Rt △BB'C 中，B'C ＝22226810'BB BC +=+=，∴△BPC 的周长最小值为B'C +BC ＝10+8＝18；（3）①∵EM PB ⊥，EN PC ⊥，∴∠EMP ＝∠ENP ＝90°，∴点E 、M 、P 、N 在以PE 为直径的圆上，如图所示，则∠PMN ＝∠PEN ，∵PE BC ⊥，EN PC ⊥，∴∠PEC ＝∠ENC ＝90°，∴∠PEN+∠NEC ＝∠NEC+∠PCB ＝90°，∴∠PEN ＝∠PCB ，∴∠PMN ＝∠PCB ， 又∵∠MPN ＝∠CPB ， ∴△MPN ∽△CPB ，∴2PMN PCB S MN S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵PE BC ⊥，∴PE ＝3，∴11831222PCB S BC PE ==⨯⨯= ∴2128PMN SMN ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴当MN 取得最大值时，PMN 的面积取得最大值， 当MN ＝PE ＝3时，23128PMN S ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得2716PMN S =即当MN＝PE＝3时，PMN的面积最大，最大值为27 16；②由①可知，2 128PMNS MN⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当MN取得最小值时，PMN的面积取得最小值，由垂径定理可知，当MN⊥PE时，MN取得最小值，如图，当MN⊥PE时，则弧ME＝弧NE∴∠MPE＝∠NPE，∵PE BC⊥，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴△PEB≌△PEC，∴EB＝EC＝12BC＝4，在Rt△BEP中，BP2222435BE PE+=+=,∵1122BEPS BE PE BP ME ==∴1143522ME ⨯⨯=⨯∴125 ME=,在Rt△PME中，PM2222129355 PE ME⎛⎫-=-=⎪⎝⎭∵1122PMES PM ME PE MH ==∴191213 2552MH ⨯⨯=⨯∴3625 MH=,∴72225 MN MH==,∴227292512825PMNS⎛⎫⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭,解得972625PMNS=，∴PMN面积的最小值为972625．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、特殊角的三角函数、相似三角形的判定及性质、勾股定理、垂径定理和圆周角定理等相关知识，有点难度，属中考压轴题，能够将第（3）问转化为利用圆的相关知识和相似三角形的性质解决是解决本题的关键．9．A解析：（1）图见解析，33cm；（2）①25cm42cmAB≤≤；②26【解析】【分析】（1）连接AO，直线l垂直平分PO．13cm22OH PO==，在Rt△AHO中即可求解；（2）①分两种情况求解；②过O作弦AB的垂直与圆交于点D，与弧AB交于点C，与AB交于点E，过M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO，得到OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心，10cmOO'=，在Rt△ADO中即可求解；【详解】（1）如图，直线l为所求，连接AO．∵点P与点O关于直线l对称，∴直线l垂直平分PO．∴13cm22OH PO==．在Rt AHO∆中，∵222AH HO AO+=，∴2233cm2AH AO HO=-=．。