c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。
轴上的投影。
2 2 2 M O [ M O ]x [ M O ] y [ M O ]z
4)主矩大小： MO [ MO ]x i [ MO ]y j [ MO ]z k
由力对点矩矢量与力对轴之矩的关系：
[ MO ( F )]x M x ( F )
' FR 0 ， MO 0，则需要作进 4. 若简化结果：
一步分析。
' a) 若主矢垂直于主矩：FR Mo MO ' Mo FR O d ' d FR FR ' O' M
O
最终可以简化为一个偏离简化中心 O 的合力。 偏离点o’ 到简化中心的距离 d 可计算出。
3)主矢的解析表达式：
' ' ' ' Fi FR FRx i FRy j FRz k
' ' 主矢投影：FRx Fxi FRy Fyi
(Fxi i F j F k ) yi zi (Fxi i) (Fyi j ) (Fzi k ) (Fxi )i (Fyi ) j (Fzi )k
力对点的矩矢量在通过该点之轴上的投影，等 于力对该轴之矩。
[ MO ]x [mO ( Fi )]x mx (Fi )
2 2 2 MO (m x ( Fi )) (m y ( Fi )) (mz ( Fi ))
空间约束例：三维固定端
Mo
F’R
' Fi Fi ' ' FR Fi Fi
结论：空间一般力系向任意一点O简化的结果 为一个力和一个力偶。该力等于该力系的主矢， 作用线过简化中心O；该力偶的矩矢等于该力 系对简化中心O点的主矩。
' 1) 主矢 FR Fi
(矢量)，只与力系中各分力 矢量有关，与简化中心O的位置无关。 2) 主矩 MO mO ( Fi ) (矢量)，与简化中心O 的位置有关，因为平移的距离不同。
c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' ' ' ' 2) 因为力偶矩矢M O 垂直于主矢 FR ： FR MO ' 逆用力平移定理，可将主 ' ' MO 矢 FR 与力偶矩矢 M O 一起 简化为作用于点 o’ 的一个 ' O " FR 力 FR ，两点的距离d： dM F
' O' MO
O
R
' M o M o sin d ' ' F FR R
F1
O点是任选的简化中心。 由力平移定理，将各力向 O点平移，附加力偶 mi ， 空间任意力系等效变换成 一个空间汇交力系+ 一个空间力偶系。
空间汇交力系可合成为一个作用线过简化中心 ' O点的力 FR ； 空间力偶系可合成为一个空间力偶，该力偶矩 矢记为 M O ； 空间任意力系一般简化为一个力+一个力偶矩矢。
三维固定端约束处，有三个约束反力加上三个 约束反力偶，共有六个约束反力。
二、空间任意力系简化结果讨论 ' FR 0， Mo 0 ，则原力系简 1. 若简化结果： 化为一个空间力偶，此时主矩与简化中心 无关(力偶与矩心无关)。 ' 2. 若简化结果： FR 0， MO 0，则原力系简 化为一个合力 ，合力过简化中心。此时简 化也是合成。 ' 3. 若简化结果： FR 0 ， MO 0 ，力系平衡。
F Fzi
' Rz
' (Fxi )2 (Fyi )2 (Fzi )2 主矢大小： FR
主矢的方向余弦：
cos
Fxi
F
' R
cos
Fyi
F
' R
cos

F
' R
[ MO ]x、 [ MO ]y、 [ MO ]z 是 M O 在三个坐标 其中：