其模表示力矩的大小；
MO(F)
指向表示力矩在其作用面内的转向(符 合右手螺旋法则)；
方位表示力矩作用面的法线。
O
r
h x
F
A(x,y,z) y
由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处， 是定位矢量。
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
以r表示力作用点A的矢径，则
uur uur r uur MO(F) r F
A
O xh
a
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
r
r
Mz (F) MO (Fxy ) Fxy h
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对 轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
3.1 空间汇交力系
例3-3 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
300
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
z MO(F)
kr Oj
ih x
B F
A(x,y,z) y
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
2 力对轴的矩
z FB
力F对z 轴的矩定义为：
uur
uuur
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 2AOab
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果 的度量，是一个代数量，其绝对值等于 力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与 平面交点的矩。
以矩心O为原点建立坐标系，则
r r r ur r xi y j zk uur r r ur F Fx i Fy j Fz k
z B
MO(F)
F
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
r r ur
uMuMrMrrOOO((uFFurrr()))yF(z(rrrrruMzFuFuFrFrurr)O)y=)(riuF(u(rFxxxi)irxir(zFryryFrxjyrjjyFuuzrxzkrkFFr=k)z)zz)F(rrx(ijFxFxxirir(xFryjFFyFyyyrjrjFkuzryzFFFzzkxrkr)))kur
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
空间力对点的矩的作用效果取决于：
z
力矩的大小、转向和力矩作用面方位。
B
这三个因素可用一个矢量MO(F)表示，如图。
3.1 空间汇交力系
1 力在直角坐标轴上的投影 若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直接投影法
Fx F cos(F , i) Fy F cos(F , j) Fz F cos(F , k)
z Fz
F
kj Fx i
Fy
y
x
3.1 空间汇交力系
当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到 坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x 、y轴上， 这叫间接投影法。
Fx F sin g cosj Fy F sin g sinj Fz F cosg
z Fz
gF Fx j
Fxy xFy y来自 3.1 空间汇交力系例3-1
已知：Frn
,
, 求：力
r Fn
在三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为
uur uur [M O (F )]x yFz zFy uur uur [M O (F )]y zFx xFz uur uur [M O (F )]z xFy yFx
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
4 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：
uur uur
uur
[
M uur
O
(
uFur )]x
M
x
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
例3-4
已知： F,l, a,
求：M
x
r F
,
M
y
r F
,
M
z
r F
r 解：把力 F 分解如图
r
M x F F l a cos
r
M y F Fl cos
M z F F l a sin
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3 力对轴的矩的解析表达式
z
Fz
设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx、Fy、 Fz。力作用点A的坐标为(x、y、z)，则
cos(FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR
,
j)
Fy FR
,
cos(FR ,
k)
Fz FR
3.1 空间汇交力系
（2）平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的 合力等于零。
uur uur FR Fi 0
以解析式表示为： Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
F B
A(x,y,z)
Fy
uur
uuur
M z (F ) MO (Fxy )
uur
uur
MO (Fx ) MO (Fy )
Fx
O
y
ya x
Fy
xFy yFx
Fx
uur x
Fxy b
M x (F ) yFz zFy
同理可得其它两式。故有
uur M y (F ) zFx xFz
uur
M z (F ) xFy yFx
3.1 空间汇交力系
2 空间汇交力系的合成与平衡
（1）合成
将平面汇交力系合成结果推广得：
uur uur uur
uur uur
FR F1 F2 L F n Fi
或
uur r r ur FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2