2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答
案）
一、解答题
1．解：平面∏与曲面22z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法向量为
}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--
从而平面∏的方程为：2450x y z ---=
又l 的方向向量为110(1)11
i j k s i j a k a ==-++--
由0n s ⋅=求得5a =-
在l 上取一点，不妨取01x =求得00(1).53y b z b =-+=+
由于000(,,)x y z 在平面∏上，代入平面方程中可求得2b =-.
2．计算下列对坐标的曲线积分：
(1)()22d -⎰L
x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界
(按逆时针方向绕行)；
(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧； (4)()()22
d d L x y x x y y x y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)； (5)2d d d x x z y y z Γ
+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；
(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ
++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； (7)d d d L x y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），
(0,1,0)，(0,0,1)；
(8)()()222d 2d L
x xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧． 解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，
()()2
2222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为
图11-1
cos 0πsin x a a t t y a t =+⎧≤≤⎨=⎩
L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )
故 ()()()()()
12
π200π
320π
π322003
d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2
L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(3)()π20π
22
0π
220
d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220
L
y x x y R t R t R tR t t R t t
R t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故 ()()()()()()222π202π220
d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2π
L x y x x y y x y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣
⎦=-=-⎰
⎰⎰ (5)()()()2π2
20
π
3220π
3320
332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y z k k a a a a k a k a k a Γ
θθθθθθθθ
θθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．。