高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 .3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 .4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds .5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ .6、微分方程x yxy dx dy tan+=的通解为 . 7、方程04)4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） yy x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 22000000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y y x f x y x f z y x y x .2、设),()(x yxf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 .3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdVI 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdrr d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdrr d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20213cos sin drr d d ； （D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin drr d d .4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）（A ）⎰⎰-20cos 202244πθθa drr a d ； （B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ； （C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa drr a r d ；（D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa drr a r d .5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(；（C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(.6、下列说法中错误的是（ ）（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx dy x dx dy ysin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x y x dx dy 221=+是伯努利方程. 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin .8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛. 三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数.)(),,(xy x g v xy x f u +==，求y u x u ∂∂∂∂,.2、（8分）设⎰+-=t x t x dzz f t x u )(),(，求t ux u ∂∂∂∂,.四、求解下列问题（共计15分）.1、计算=I ⎰⎰-2022xy dye dx .（7分）2、计算⎰⎰⎰Ω+=dVy x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）.五、（13分）计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向.六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f .七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间. 高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂y zx z .2、=+-→→xyxy y x 93lim 00 .3、设⎰⎰=202),(x xdyy x f dx I ，交换积分次序后，=I .4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ .5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分 ⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( .6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(222，则=div .7、通解为xx e c e c y 221-+=的微分方程是 .8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a .二、选择题（每小题2分，共计16分）.1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（ ） （A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在. 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及 +∂∂22x u 022=∂∂y u ，则（ ）（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上. 3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（ ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较. 4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =（ ）（A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641.5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=L ds y x f ),(（ ）(A)⎰βαψϕdtt t f ))(),((； (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；(C) ⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((.6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分 ⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz =（ ）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4.7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）(A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y .8、设级数∑∞=1n na为一交错级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛.三、求解下列问题（共计15分）1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数.2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.四、求解下列问题（共计15分）1、（7分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域.2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dvy x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt dF.五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求⎰-+-=Lx x dym y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧.2、（7分）计算⎰⎰∑++=dxdyz dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧.六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dyx ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ.高等数学（下册）试卷（三）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设⎰=yzxzt dte u 2， 则=∂∂z u .2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数)0,0(lf∂∂= .3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(化为先对z再对y 最后对x 三次积分，则I= .4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+→D t d y x f t σπ),(1lim 2，其中222:t y x D ≤+.5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+.6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式.7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y . 8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散，则p .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设),(b a f x '存在，则x b x a f b a x f x ),(),(lim0--+→=（ ）（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21),(b a f x '.2、设2yx z =，结论正确的是（ ）（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y zy x z ；（C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂x y zy x z .3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）（A ）0；（B ）2⎰⎰1),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ.4、设Ω：2222R z y x ≤++，则⎰⎰⎰Ω+dxdydzy x)(22=（ ）（A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）51516Rπ.5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x坐标x 为（ ）（Ａ）x =⎰L dsy x x M),(1ρ； （B ）x =⎰L dx y x x M ),(1ρ；（C ）x =⎰L ds y x x ),(ρ； （D ）x =⎰L xds M 1, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量.６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分⎰⎰∑++ydxdzx xzdydz zdxdy y 22＝（ ）（A ）0； （B ）4π-； （C ）245π； （D ）4π.７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(；（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=.８、设⎩⎨⎧≤<<≤--=ππx x x f 010,1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ） （A ）])1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）πn 1； （D ）πn 4.三、（１２分）设tt x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导数，求dx dy.四、（８分）在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短.五、（８分）求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ.六、（１２分）计算⎰⎰∑=xyzdxdyI ，其中∑为球面1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧.七、（10分）设xx d x df 2sin 1)(cos )(cos +=，求)(x f .八、（10分）将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数.高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处的全微分=dz .2、椭球面632222=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 . 3、设D 是由曲线2,2+==x y x y 所围成，则二重积分⎰⎰=+=Ddxdy x I )1(2 .4、设Ω是由4,0,422===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分 ⎰⎰⎰Ω+=dvy x I )(22= .5、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分⎰⎰∑=+=ds y x I )(22 .6、⎰⎩⎨⎧=++=++=22222z y x a z y x ds x .7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且)(x y 满足微分方程02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 .8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、函数xyx yz +=arcsin 的定义域是（ ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ；（D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y .2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ）（A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）.3、若积分域D 是由曲线2x y =及22x y -=所围成，则⎰⎰D d y x f σ),(=（ ）（A ）⎰⎰--22211),(x x dyy x f dx ； （B ）⎰⎰--22211),(x x dyy x f dx ；（C ）⎰⎰-y ydxy x f dy 210),(； （D ）⎰⎰--112),(22dxy x f dy x x .4、设;0,:22221≥≤++Ωz R z y x0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ） （A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdvxdv ； （B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydvydv ；（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdvxyzdv ； （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdvzdv .5、设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分⎰⎰∑+ds y x )(22=（ ）（A ）π221+； （B ）2π； （C ）π22； （D ）0 .６、设∑是球面2222a z y x =++表面外侧，则曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333＝（ ）（A ）3512a π； （B ）5512a π； （C ）554a π； （D ）5512a π-.７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率x y x xx k ln ln +-=，则此曲线方程为（ ）（A ）)ln(ln x x e x y +=； （B ）x x e xy ln +=；（C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)ln(ln x e xy +=.８、幂级数∑∞=+1)1(n nxn 的收敛区间为（ ）（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1].三、（１０分）已知函数)()(x yxg y x yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求 y x u yxu x ∂∂∂+∂∂222的值.四、（１０分）证明：曲面)0(3>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.五、（１４分）求抛物面224y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.六、（１０分）计算⎰-++=Lx x dyx y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为24x y --=由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段.七、（８分）求解微分方程212y y y '-+''=0 .八、（８分）求幂级数∑∞=1n nn x 的和函数)(x S .高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设),(y x f z =是由方程0=+----xy z xe x y z 所确定的二元函数，则 =dz .２、曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程是 .３、设Ω是由1222≤++z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ωdve z＝ .４、设)(x f 为连续函数，m a ,是常数且0>a ，将二次积分⎰⎰⋅-a yx a m dxx f e dy 0)()(化为定积分为 .５、曲线积分⎰+)(AB L QdyPdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为 .６、设∑为222y x a z --=，则⎰⎰∑=++ds z y x )(222 .７、方程xe y y 23=+'的通解为 .８、设级数∑∞=1n na收敛，∑∞=1n nb发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a必是 .二、选择题（每小题2分，共计16分）１、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222y x y x yx yx y x f ，在点（０，０）处，下列结论（ ）成立.（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）)0,0()0,0(='='y x f f ； （Ｄ）可微.２、设函数),(y x f z =有222=∂∂y f，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =（ ）（Ａ）21y xy +-； （Ｂ）21y xy ++； （Ｃ）221y y x +-； （Ｄ）221y y x ++.３、设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）（Ａ）drr rf ⎰21)(2π； （Ｂ）drr rf ⎰212)(2π；（Ｃ）⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π； （Ｄ）⎰⎰-10222])()([2dr r rf dr r rf π.４、设Ω是由0,0,0===z y x 及12=++z y x 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ω=)(),,(dv z y x xf（Ａ）⎰⎰⎰---y x ydyz y x xf dz dx 21021010),,(；（Ｂ）⎰⎰⎰--yx dzz y x xf dy dx 2101010),,(； （Ｃ）⎰⎰⎰---y x xdzz y x xf dy dx 21021010),,(；（Ｄ）⎰⎰⎰10110),,(dzz y x xf dy dx .５、设∑是由1,11,0,0,0======z y x z y x 所围立体表面的外侧，则曲面积分⎰⎰∑=++)(zdxdy ydzdx xdydz（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2.６、以下四结论正确的是（ ）（Ａ）⎰⎰⎰≤++=++2222522234)(a z y x a dv z y x π；（Ｂ） ();442222222a ds z y x a z y xπ=++⎰⎰=++（Ｃ） ⎰⎰=++=++外侧222242224)(a z y x a dxdy z y x π；（Ｄ） 以上三结论均错误.７、设)(x g 具有一阶连续导数，1)0(=g .并设曲线积分⎰-Ldyx g xdx x yg )(tan )( 与积分路径无关，则⎰=-)4,4()0,0()()(tan )(ππdy x g xdx x yg（Ａ）π22； （Ｂ）π22-； （Ｃ）π82； （Ｄ）π82-. ８、级数∑∞=---1112)1(n n n 的和等于（ ）（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2.三、求解下列问题（共计１５分）１、（８分）设,zyx u =求y u x u ∂∂∂∂,z u ∂∂.（７分）设),(z y y x f u =，f 具有连续偏导数，求du .四、求解下列问题（共计１５分）１、（８分）计算⎰⎰++=Dd y f x f y bf x af I σ)()()()(，其中222:R y x D ≤+.（７分）计算⎰⎰⎰Ω+++=dvz y x I )1(，其中2222:R z y x ≤++Ω.五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，⎰+-+Ldyy x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关，并求其一个原函数),(y x u .六、（８分）将函数3)1(1)(x xx f -+=展开为x 的幂级数.七、（７分）求解方程096=+'-''y y y .高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ．0lim (,)x x f x y →及0lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xy z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy y C y ydx dyx + ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y +3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰ 212002cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dzπθπθθθ-⎰⎰⎰21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dzπθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nnn a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.A. （-1，3，4）B.（3，-1，4）C. （-1，0，3）D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy=⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctany z y x =, 求z x ∂∂,zy ∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量122l i j =+r r r 方向的方向导数.4. （本小题满分7分）将x x f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域.5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值.6．（本小题满分7分）计算二重积分1,1,1,)(222=-=--=+⎰⎰y y y x D d y xD由曲线σ及2-=x 围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算⎰-Lxy x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域. .四、综合题（共16分，每小题8分）1．（本小题满分8分）设级数11,nnn n u v∞∞==∑∑都收敛，证明级数21()nn n uv ∞=+∑收敛.2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2fx x ∂=∂，证明曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路径无关．若对任意的t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy+=+⎰⎰，求),(y x f 的表达式．高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx x y=sin；7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ；三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x y u +'=∂∂；2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ； 2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142r dz r dr d dz r dr d I 柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则x Qy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，x Q y P ∂∂∂∂,在D 内连续.所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，x Q y P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D l l L l l L dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得：0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0 x f x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即 )0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn tΘ212321232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛；当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3].高等数学（下册）试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dxy x f dy dx y x f dy ； 4、)0(32f '；5、π8-；6、)(2z y x ++；7、02=-'+''y y y ； 8、0；二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ；三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且)1,0,1(221z y x xu A ++=∂∂2/1=；1)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y y zy x y u A ；2/11)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy z zy x zu A而),1,2,2(-==所以)31,32,32(-=οl ,故在A 点沿=方向导数为： =∂∂Alu A x u ∂∂αcos ⋅+A y u ∂∂βcos ⋅+A z u∂∂γcos ⋅ .2/13121)32(03221=⋅+-⋅+⋅=2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f令0)122(23='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010:所以⎰⎰⎰---++++=1010103)1(xyx z y x dzdy dx I⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]41)1(1[21⎰-=--+=101652ln 21)4311(21dx x x 2、在柱面坐标系中⎰⎰⎰+=πθ200022)]([)(thrdz r f z dr d t F ⎰+=tdr r h r r hf 032]31)([2π所以]31)([232t h t t hf dt dF +=π]31)([222h t f ht +=π五、1、连接→OA ，由Green 公式得：。