两张图彻底搞清楚一个集合的子集和真子集
一、子集和真子集的分类
1.A A A ⎧⎨⎩①的真子集的子集包括:②本身
2.A B A B A B A ≠的真子集:若是的子集且,则是的真子集。

二、子集和真子集的韦恩图表示
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

三、子集和真子集异同点比较
1.相同点：一个集合A 的子集和真子集都是由来自集合A 中的部分元素构成的集合，都不含集合A 之外的元素。

2.不同点：集合A 的所有子集=集合A 的所有真子集+集合A 本身。

即比集合A 小的所有子集都称为集合A 的真子集，而集合A 的所有真子集加上集合A 本身就是集合A 的所有子集。

四、例题详解
1.已知集合{}1,2A =,求：集合A 的所有子集，并指出集合A 的所有真子集。

【解】集合A 中有两个元素，故一共有224=个子集，分别为：∅，{}1，{}2，{}1,2共4个。

其中真子集有2213-=个，分别为：∅，{}1，{}2。

非空真子集有2222-=个，分别为：{}1，{}2。

【备注】n 元集合共有2n 个子集，共有21n -个真子集，共有22n -个非空真子集。

2.若集合{},,B a b c =，列出集合B 的所有子集，并指出其中的真子集、非空真子集。

【解】：集合B 中有三个元素，故共有328=个子集，分别为：∅；{}a ，{}b ，{}c ；{},a b ，{},a c ，{},b c ；{},,a b c 共8个。

其中真子集共有3217-=个，分别为∅；{}a ，{}b ，{}c ；{},a b ，{},a c ，{},b c 。

（真子集:B A ）A B 1.B 是A 的真子集:B A <≠⊂ 2.B 是A 的子集:B A <或B A =A B ()
A B 或（子集:B A ⊆）
非空真子集共有3226-=个，分别为{}a ，{}b ，{}c ；{},a b ，{},a c ，{},b c 。

3.已知集合{}12A x x =-<<，{}B x x a =<，则（1）若A B ⊆，求a 的取值范围；（2）若A B ，求a 的取值范围。

【解】（1）∵A B ⊆，∴A 是B 的子集，结合数轴可知，a 的取值范围为2a ≥。

（2）若A B ，则A 是B 的真子集，结合数轴可知，此时a 的取值范围也为2a ≥。

五、小结
1.∅没有真子集，只有一个子集，就是∅本身。

2.只有有限集可以列举出所有子集（或真子集）。

3.集合A 的所有真子集同时也都是集合A 的子集，集合A 的所有子集除集合A 本身外都是集合A 的真子集。

4.集合B 是集合A 的真子集⇔B A ⊆且B A ≠。

5.找一个n 元集合的所有子集，可以按集合中所含元素个数m 从小到大（即0,1,2,,m n = ）依次列举，以便做到不重不漏。

特别地，0m =时为∅，m n =时为这个集合本身。

⊂≠⊂≠。