随机变量及分布训练一1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则A. B. C. D.2. 设，随机变量的分布列是则当在内增大时，（）A.减小B.增大C.先减小后增大D.先增大后减小3. 已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为．则（）A.，B.，C.，D.，4. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值A. B. C. D.5. 已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望A. B. C. D.6. 已知台机器中有台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出台故障机器为止．若检测一台机器的费用为元，则所需检测费的均值为（）A. B. C. D.7. 某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为，则的数学期望为（）A. B. C. D.8. 某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（）A. B. C. D.9. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？10. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，．现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．11. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数好评率好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（1）从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢．“”表示第类电影没有得到人们喜欢．写出方差，，，，，的大小关系．12. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？13. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有名男志愿者，，，，，和名女志愿者，，，，从中随机抽取人接受甲种心理暗示，另人接受乙种心理暗示．（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率．（2）用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望．14. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产，两种奶制品．生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元；生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元．要求每天产品的产量不超过产品产量的倍，设备每天生产，两种产品时间之和不超过小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．（1）求的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求天中至少有天的最大获利超过元的概率．15. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得分；如果只有一个人猜对，则“星队”得分；如果两人都没猜对，则“星队”得分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望．随机变量及分布训练二16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖次能获奖的概率；（2）若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望．17. 某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路通畅状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：（分钟）频数（次）（1）求的分布列与数学期望；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟的概率．18. 某市、两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了名男生、名女生，中学推荐了名男生、名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取人，女生中随机抽取人组成代表队．（1）求中学至少有名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的名队员中随机抽取人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望．19. 已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）20. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为，求的分布列和数学期望．21. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．Ⅰ求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个的概率；Ⅱ用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差．22.有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位A B C D月薪/元6000 7000 8000 9000获得相应职位概率0.4 0.3 0.2 0.1乙公司职位A B C D月薪/元5000 7000 9000 11000获得相应职位概率0.4 0.3 0.2 0.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司110 120 140 80选择乙公司150 90 200 110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？0.050 0.025 0.010 0.005P（K2≥k）k 3.841 5.024 6.635 7.87923.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,P0.050 0.010 0.001k03.841 6.635 10.828参考答案与试题解析2019年5月17日高中数学一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布【解析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，可看做是独立重复事件，满足，，可得，可得．即．因为，可得，解得或（舍去）．故选．2.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】求出随机变量的分布列与方差，再讨论的单调情况．【解答】解：设，随机变量的分布列是；方差是，∴ 时，单调递增；时，单调递减；∴ 先增大后减小．故选：．3.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出，和，进行比较即可．【解答】解析：，，，所以；由已知的取值为、，的取值为、、，所以，，．故选4.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意可知：所有可能取值为，，，．①个顶点处的个小正方体涂有面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下个，一共有个小正方体涂有面，③每个表面去掉四条棱上的个小正方形，还剩下个小正方形，因此一共有个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下个内部的小正方体的个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知：所有可能取值为，，，．①个顶点处的个小正方体涂有面，∴ ；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下个，一共有个小正方体涂有面，∴；③每个表面去掉四条棱上的个小正方形，还剩下个小正方形，因此一共有个小正方体涂有一面，∴ ．④由以上可知：还剩下个内部的小正方体的个面都没有涂油漆，∴．故的分布列为因此．故选．5.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：．故选．6.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】设检测机器所需检测费为，则的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均值．【解答】设检测机器所需检测费为，则的可能取值为，，，，，，∴7.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意知随机变量的可能取值是，，，，，计算对应的概率值，求出的数学期望值．【解答】由题意知，随机变量的可能取值是，，，，，且，，，，；∴ 的数学期望为．8.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布【解析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，即不发芽率为，故没有发芽的种子数服从二项分布，即．又没发芽的补种个，故补种的种子数记为，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即．而每粒需再补种粒，补种的种子数记为故，则．故选．二、解答题（本题共计 13 小题，每题 10 分，共计130分）9.【答案】解：（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为，则，∴ ，令，得，当时，，当时，，∴ 的最大值点．由（1）知，令表示余下的件产品中的不合格品数，依题意知，，即，∴ ．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为元，∵ ，∴ 应该对余下的产品进行检验．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）求出，则，利用导数性质能求出的最大值点．由，令表示余下的件产品中的不合格品数，依题意知，再由，即，能求出．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为元，，从而应该对余下的产品进行检验．【解答】解：（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为，则，∴ ，令，得，当时，，当时，，∴ 的最大值点．由（1）知，令表示余下的件产品中的不合格品数，依题意知，，即，∴ ．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为元，∵ ，∴ 应该对余下的产品进行检验．10.【答案】解：（1）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，．人数比为：，从中抽取人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人．（2）若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，随机变量的取值为：，，，，，，，，．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望；设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件为：抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，事件为抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，则：，且，，故．所以事件发生的概率：．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；（2）若用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解数学期望；利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：（1）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，．人数比为：，从中抽取人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人．（2）若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，随机变量的取值为：，，，，，，，，．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望；设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件为：抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，事件为抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，则：，且，，故．所以事件发生的概率：．11.【答案】解：（1）设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，∴ 从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：．（2）设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，恰有部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率：．（3）由题意知，定义随机变量如下：，则服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：，．第二类电影：，．第三类电影：，．第四类电影：，．第五类电影：，．第六类电影：，．∴ 方差，，，，，的大小关系为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差古典概型及其概率计算公式【解析】（1）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解．（2）设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，恰有部获得好评”，第四类获得好评的有部，第五类获得好评的有部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率．（3）由题意知，定义随机变量如下：，则服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差，，，，，的大小关系．【解答】解：（1）设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，∴ 从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：．（2）设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，恰有部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率：．（3）由题意知，定义随机变量如下：，则服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：，．第二类电影：，．第三类电影：，．第四类电影：，．第五类电影：，．第六类电影：，．∴ 方差，，，，，的大小关系为：．12.【答案】解：（1）由题意知的可能取值为，，，，，，∴ 的分布列为：（2）当时，，，当时，若，则，若，则，∴ ，∴ ，当时，若，则，若，则，∴ 当时，，若，则，∴ ，当时，，，∴ ．综上，当时，最大值为元．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由题意知的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．（2）当时，，；当时，；当时，时，；当时，．从而得到当时，最大值为元．【解答】解：（1）由题意知的可能取值为，，，，，，∴ 的分布列为：（2）当时，，，当时，若，则，若，则，∴ ，∴ ，当时，若，则，若，则，∴ 当时，，若，则，∴ ，当时，，，∴ ．综上，当时，最大值为元．13.【答案】解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则．（2）的可能取值为：，，，，，∴ ，，，，．∴ 的分布列为的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用组合数公式计算概率；（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则．（2）的可能取值为：，，，，，∴ ，，，，．∴ 的分布列为的数学期望．14.【答案】设每天，两种产品的生产数量分别为，，相应的获利为，则有，①如图，目标函数为：＝．当＝时，①表示的平面区域如图，三个顶点分别为，，．将＝变形为，当＝，＝时，直线：在轴上的截距最大，最大获利＝＝＝．当＝时，①表示的平面区域如图，三个顶点分别为，，．．将＝变形为，当＝，＝时，直线：在轴上的截距最大，最大获利＝＝＝．当＝时，①表示的平面区域如图，四个顶点分别为，，，．将＝变形为：，当＝，＝时，直线＝在轴上的截距最大，最大获利＝＝＝．故最大获利的分布列为：因此，＝＝由Ⅰ知，一天最大获利超过元的概率＝＝＝，由二项分布，天中至少有天最大获利超过元的概率为：．【考点】简单线性规划离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）设每天，两种产品的生产数量分别为，，相应的获利为，列出可行域，目标函数，通过当＝时，当＝时，当＝时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到的分布列．求出期望即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．【解答】设每天，两种产品的生产数量分别为，，相应的获利为，则有，①如图，目标函数为：＝．当＝时，①表示的平面区域如图，三个顶点分别为，，．将＝变形为，当＝，＝时，直线：在轴上的截距最大，最大获利＝＝＝．当＝时，①表示的平面区域如图，三个顶点分别为，，．．将＝变形为，当＝，＝时，直线：在轴上的截距最大，最大获利＝＝＝．当＝时，①表示的平面区域如图，四个顶点分别为，，，．将＝变形为：，当＝，＝时，直线＝在轴上的截距最大，最大获利＝＝＝．故最大获利的分布列为：因此，＝＝由Ⅰ知，一天最大获利超过元的概率＝＝＝，由二项分布，天中至少有天最大获利超过元的概率为：．15.【答案】解：（1）“星队”至少猜对个成语包含“甲猜对个，乙猜对个”，“甲猜对个，乙猜对个”，“甲猜对个，乙猜对个”三个基本事件，故概率，（2）“星队”两轮得分之和为可能为：，，，，，，则，，，，故的分布列如下图所示：∴ 数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差列举法计算基本事件数及事件发生的概率离散型随机变量及其分布列【解析】（1）“星队”至少猜对个成语包含“甲猜对个，乙猜对个”，“甲猜对个，乙猜对个”，“甲猜对个，乙猜对个”三个基本事件，进而可得答案；（2）由已知可得：“星队”两轮得分之和为可能为：，，，，，，进而得到的分布列和数学期望．【解答】解：（1）“星队”至少猜对个成语包含“甲猜对个，乙猜对个”，“甲猜对个，乙猜对个”，“甲猜对个，乙猜对个”三个基本事件，故概率，（2）“星队”两轮得分之和为可能为：，，，，，，则，，，，故的分布列如下图所示：∴ 数学期望16.【答案】解：（1）记事件，事件，事件，相互独立，，互斥，，互斥，且，，，因为，，所以，，，故所求概率为：．（2）顾客抽奖次可视为次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖次获一等奖的概率为：所以．．于是，，，，．故的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）记事件，事件，事件，事件，事件，利用，相互独立，，互斥，，互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖次可视为次独立重复试验，判断．求出概率，得到的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件，事件，事件。