第一章点、直线和平面的投影1）教学目的掌握投影的基本概念，三投影面体系和点的投影。

2）教学重点(1) 投影的基本概念；(2) 三投影面体系的建立；(3) 点线面的投影。

3）难点(1) 投影的基本概念；(2) 点在三投影面体系中的投影。

4）教学方法和教学手段讲解法，以黑板作图为主，辅以课件。

1.1投影的基本知识(时间15分钟)1.1.1投影概念在自然现象中，物体在光线的照射下会在某一平面上产生物体的影子，这就是物体在平面上的图像。

人类通过科学地总结影子与物体的几何关系，逐步形成了把空间物体表示在平面上的基本方法，即投影法。

用光线照射物体，在预设的平面上获得物体图形的方法称为投影法。

光源S称为投射中心，预设的平面P称为投影面，投影面上得到的物体图形称为该物体的投影。

1.1.2 投影法的分类投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。

5）中心投影法投射线从投射中心出发，在投影面上获得物体投影的方法，称为中心投影法，所得的投影称为中心投影。

工程上常用中心投影法画建筑透视图，它用于反映物体的立体形状，不注重表达物体的尺寸大小。

6）平行投影法用相互平行的投射线，在投影面上作出物体投影的方法，称为平行投影法。

如图3.3所示平行投影法又分为斜投影法和正投影法：斜投影法——投射线倾斜于投影面。

正投影法——投射线垂直于投影面。

由于正投影法度量性好，作图方便，能正确地反映物体的形状和大小，所以工程图样多数用正投影法绘制。

在以后各章节中，如无特殊说明，投影均指正投影。

1.1.3正投影法的基本特性7）真实性当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长，平面的投影反映实形，如图1.1（a）所示。

8）积聚性当直线或平面垂直于投影面时，则直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图1.1（b）所示。

9）类似性当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小于实长；平面的投影面积变小，形状1.2点 的 投 影1.2.110） 如图1.2V 线称为投影轴OX 。

11） 如图1.3（a Aa ，分别与V 面、H 和水平投影（H 旋转90°，与V ′称为投影连线。

在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x ，图1.3 (c)即为点A 的投影图。

12） 点的两面投影规律空间三点A 、a ′、a 构成一个平面，由于平面Aa ′a 分别与V 面，H 面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x ，且a x a ′⊥OX 、aa x ⊥OX 。

当H 面与V 面展平后， a 、a x 、a ′三点必共线，即（a ） （b ） （c ）图1.1 正投影法的基本特性(1) 点的两面投影连线垂直于投影轴，即aa ′⊥OX 。

(2) 点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即：a x a ′=Aa a x a=Aa ′1.2.2点在三投影面体系中的投影(时间25分)13）14） 三投影面体系的建立两面投影能确定点的空间位置，却不能充分表达立体的形状，所以需采用三面投影图。

如图1.4(a)所示，再设立一个与V 、H 面都垂直的侧立投影面（简称侧面）W ，形成三投影面体系。

它的三条投影轴OX 、OY 、OZ 必定互相垂直。

15） 点的三面投影由空间点A 分别作垂直于H 、V 、W 面的投射线，其交点a 、a ′、a 〃即为点A 的三面投影。

空间点的W 面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a 〃、b 〃、…等, 如图1.4(a)所示。

投影面展开时，W 面绕OZ 轴向右旋转90°和V 面展成一个平面，得到三面投影图，如图1.4(b)所示。

OY 轴在H 、W 面上分别表示为OY H 、OY W 。

同样，不必画出投影面的边框， 如图1.4(c)所示。

16） 点的三面投影规律 在三投影面体系中，Aaa x a ′a z a 〃a y O 构成一长方体，由于点在两投影面体系中的投影规律在三投影面体系中仍然适用，由此可得出如下关系：aa ′⊥OX 、a ′a 〃⊥OZ 、aa YH ⊥OY H 、a 〃a YW ⊥OY W 、aa X = a 〃a Z 。

若把三投影面体系看作直角坐标系，则投影轴、投影面、点O 分别是坐标轴、坐标面和原点。

则可得出点A （x ，y ，z ）的投影与其坐标的关系：x=a Z a ′=aa YH =点A 到W 面的距离A a 〃；y=aa X =a Z a 〃=点A 到V 面的距离A a ′；z= a X a ′= a 〃a YW =点A 到H 面的距离Aa 。

由此可得出点的三面投影规律：(1) 点的投影连线垂直于相应的投影轴，即aa ′⊥OX 、a ′a 〃⊥OZ 。

(2) 点的投影到投影轴的距离，等于该点的某一坐标值，也就是该点到相应投影面的距离。

[例1.1] 已知空间点A 到三投影面W 、V 、H 的距离分别为20、10、15，求作点A 的三面投影。

[解]（1）画投影轴，根据点到投影面的距离与坐标值的对应关系，先作点A （20，10，15）的两面投影：在X 轴上量取20，定出点a X ,如图（a ） （b ） （c ） 图1.4 点在三投影面体系中的投影示；过点a X作OX轴的垂线，自a X顺OY H方向量取10，作出点A的水平投影a，顺OZ轴方向在垂线上量取15，作出点A的正面投影a′, 如图1.5 (b)所示。

(2)根据点的投影规律，作出点A的第三面投影a〃。

按a′a〃⊥OZ，过a′作OZ轴的垂线，交点为a Z，并量取a Z a〃=aa X，得到a〃。

也可通过45°分角线确定a〃, 如图1.5 (c)所示。

1.2.3两点的相对位置和重影点(时间15分钟)y A>y B）、之H面的投射线V面投z A>z B），它们同理，如两点在V面上重影，则y坐标值大的点其投影为可见点；在W面上重影，则x坐标值大的点其投影为可见点。

1.3直线的投影19）教学目的掌握各种位置直线在三投影面体系中的投影。

20）教学重点(1) 掌握一般位置直线和各种特殊位置直线的投影；(2) 各种位置直线的投影特性。

22）教学方法和教学手段讲解法，挂课件、模型和黑板作图。

空间直线的投影，可由直线上两端点的投影来确定。

如图1.8所示，作直线AB的三面投影，可分别作出A、B两点的三面投影a、a′、a〃和b、b′、b〃，然后用粗实线连接其同面投影ab、a′b′、a〃b〃，即为直线AB的三面投影。

如图1.8所示，直线AB对三投影面H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示，则直线AB的三面投影长度与倾角的关系为：ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a〃b〃=ABcosγ。

由此可知，一般位置直线的投影特性是：直线的三面投影长度均小于实长，三投影都倾斜于投影轴，但不反映空间直线与投影面的真实倾角。

24）投影面平行线只平行于一个投影面而与另两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。

按所平行的投影面不同它又可分为下列三种：水平线平行于H面，并与V、W面倾斜的直线。

正平线平行于V面，并与H、W面倾斜的直线。

侧平线平行于W面，并与H、V面倾斜的直线。

(课本中投影面平行线投影表)列出了三种的立体图、投影图和投影特性。

从表中可归纳出投影面平行线的投影特性为：(1) 直线在所平行的投影面上的投影反映实长；该投影与投影轴的夹角分别反映空间直线对相应投影面的倾角。

(2) 直线在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且长度缩短。

25）投影面垂直线垂直于一个投影面而与另两个投影面都平行的直线称为投影面垂直线。

按所垂直的投影面不同它又可分为下列三种：铅垂线垂直于H面，并与V、W面平行的直线。

侧垂线垂直于W面，并与H、V面平行的直线。

(课本中投影面垂直线投影表) 列出了三种投影面的立体图、投影图和投影特性。

从表中可归纳出投影面垂直线的投影特性为：(1) 直线在所垂直的投影面上的投影，积聚为一个点。

(2) 直线在另两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映实长。

1.3.2两直线的相对位置(时间15分)空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况。

由于相交两直线或平行两直线在同一平面上，所以它们也称为共面直线。

交叉两直线不在同一平面上，称为异面直线。

26）平行两直线根据正投影法的投影特性，空间两平行直线的投影必定互相平行。

由于AB∥CD，则必有ab∥cd，a′b′∥c′d′, a″b″∥c″d″。

反之，若两直线的各同名投影都互相平行，则该两直线在空间必定互相平行。

27）相交两直线根据正投影法的投影特性，空间两相交直线的投影必定相交，且各投影的交点符合点的投影规律。

由于AB与CD相交，则ab与cd，a′b′与c′d′, a″b″与c″d″必定分别交于k、k′、k″，且符合点K的投影规律。

反之，若两直线的各同名投影相交，且各投影的交点符合点的投影规律，则该两直线在空间必定相交。

28）交叉两直线交叉两直线是既不平行又不相交的异面两直线，因而其投影不具有两直线平行或相交的投影特性。

1.3.3直线上点的投影(时间15分)29）直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。

如图3.15所示，点C 在直线AB上，则点C的三面投影c、c′、c〃，必分别在AB的三面投影ab、a′b′、a〃b〃，且c、c′、c〃符合点的投影规律。

30）直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。

即：1.9所示[分析] 由k和k′。

H面上解：方法一：由于AB 是侧平线，因此不能由s ′直接求出s ，但根据点在直线上的投影性质，s 〃必定在a 〃b 〃上，如图1.10（a ）所示。

方法二：因为S 点在AB 直线上，所以必定符合a ′s ′﹕s ′b ′=as ﹕sb 的定比关系，如图1.10（b ）所示。

1.4平面的投影31） 教学目的掌握各种位置平面在三投影面体系中的投影。

32） 教学重点(1) 各种位置平面的投影；(2) 各种位置平面的投影特性。

33） 难点(1) 各种位置平面的投影特性。

(2) 平面上的直线和点，特殊位置圆的投影。

34） 教学方法和教学手段讲解法，课件、模型和黑板作图。

1.4.1平面的表示法(时间10分)平面的表示法通常有以下五种：不在同一直线上的三点,一直线和直线外一点,相交两直线,平行两直线,任意平面图形 。

这些表示平面的方法之间，可以根据需要，相互转换，以达到解题的目的。

1.4.2各种位置平面的投影特征(时间40分)在三投影面体系中，平面对投影面的相对位置有三类：一般位置平面：对三个投影面都倾斜的平面；投影面垂直面：垂直于某一投影面，与另两个投影面倾斜的平面；投影面平行面：平行于某一投影面，与另两个投影面垂直的平面。

后两类平面又称特殊位置平面。

35） 一般位置平面（a ） （b ）图1.10 求侧平线上点的投影对三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图1.11所示。