第十一讲 双曲线
形如x k y =(0≠k )的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：
1． 双曲线解析式x
k y =中的系数k 决定图象的大致位置及y 随x 变化的状况．
2．双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称，在k >0时函数的图象关于直线x y =轴对称；在k <0时函数的图象关于直线x y -=轴对称．
3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．
【例题求解】
【例1】 已知反比例函数x
k y =的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小)．
思路点拨 确定k 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．
注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O 中心称，关于x y ±=轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．
(2)一个常用命题：
如图，设点A 是反比例函数x k y =(0≠k )的图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，过A 作AC ⊥y 轴于C ，则
①S △AOB =k 2
1； ②S 矩形OBAC =k ．
【例2】 如图，正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数x
y 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，连结BC ，若S △ABC 的面积为S ，则( )
A ．S=1
B ．S =2
C ．S=k
D ．S=2k
思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S △AOB 与S △OBC 的关系．
【例3】 如图，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x
k y =(0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B ．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若△AOB 面积S ＝24，求k 的值．
思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；
(2)S △AOB= S △COB S- S △COA ，建立k 的方程．。