第5关 多边形与平行四边形（讲义部分）知识点1 多边形的概念和性质多边形：在平面内，若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭的图形叫做多边形. 正多边形：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形. 定理1：n 边形的内角和等于2180n -⋅（）（n 为不小于3的整数）.外角和等于360（n 为不小于3的整数）.题型1 多边形内角和【例1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720︒，那么原多边形的边数为( ) A ．5B ．5或6C ．5或7D ．5或6或7【解答】解：如图，剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，设内角和为720︒的多边形的边数是n ，则(2)180720n -=，解得：6n =．则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D ．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180︒，求这个多边形的边数和内角和． 【解答】解：设这个多边形的边数为n ，根据题意，得(2)1803360180n -⨯︒=⨯︒-︒，解得7n =．所以这个多边形的内角和为：(72)180900-︒=︒．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360︒，与边数无关．【例3】已知一个正多边形相邻的内角比外角大140︒． （1）求这个正多边形的内角与外角的度数； （2）直接写出这个正多边形的边数． 【解答】解：（1）设正多边形的外角为x ︒，则内角为(180)x -︒，由题意，得180140x x --=．解得20x =．∴正多边形的内角为160︒，外角为20︒．（2）这个正多边形的边数为：3602018︒÷︒=．【点评】本题考查多边形的内角和，解题的关键是熟练运用多边形的内角和公式，本题属于基础 题型．【例4】多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350︒． （1）求多边形的边数；（2）此多边形必有一个内角为多少度？【解答】解：设这个外角度数为x ，根据题意，得(2)1801350n x -⨯︒+︒=︒，解得：13501803601710180x n n ︒=︒-︒+︒=︒-︒， 由于0180x <︒<︒，即01710180180n <︒-︒<︒， 解得8.59.5n <<， 所以9n =．可得1350(92)18090x ︒=︒--⨯︒=︒该多边形必有一内角度数1809090︒-︒=︒．【点评】主要考查了多边形的内角和定理．解题的关键是熟记n 边形的内角和为：180(2)n ︒-．【例5】（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，⋯，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有 个．（用含n 的代数式表示）（2）若在如图4所示的n 边形中，P 是1n A A 边上的点，分别连接2PA 、3PA 、41n PA PA -⋯，得到1n -个互不重叠的三角形．你能否根据这样的划分方法写出n 边形的内角和公式并说明你的理由；（3）反之，若在四边形内部有n 个不同的点，按照（1）中的方法可得k 个互不重叠的三角形，试探究n 与k 的关系． 【解答】解：（1）()21n +个．（2）设n 边形的内角和为k ，则：(1)180180k n =-⨯︒-︒(2)180n =-︒．（3）又设在四边形内部有n 个不同的点，且按（1）中的方法可得k 个互不重叠的三角形，而：四边形的内角和为360︒， 360360180n k ∴+︒=⨯︒， 则：22n k +=．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确读懂题目，理解例题的基本思路是解决本题 的关键． 知识点2 平行四边形1．平行四边形的性质概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

用“▱ ”表示. 性质：平行四边形对边相等，对角相等. 推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等. 推论2：平行线间的距离处处相等. 2. 平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 三角形中位线：定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.题型2 平行四边形的性质【例6】某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm ，5cm ，7cm 的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：分别以4cm ，5cm 为边，7cm 为对角线；或以4cm ，7cm 为边，5cm 为对角线； 或5cm ，7cm 为边，4cm 为对角线共有三种情况．故选：C ．【点评】本题考查了平行四边形的判定，实质上只要三条线段的长符合构成三角形，就可以画不 同形状的平行四边形．【例7】如图，过平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的过平行四边形AEMG 的面积1S 与HCFM 的面积2S 的大小关系是()A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，//EF BC ，//HG AB ，AD BC ∴=，AB CD =，////AB GH CD ，////AD EF BC ， ∴四边形HBEM 、GMFD 是平行四边形， 在ABD ∆和CDB ∆中；， AB CD BD DB DA CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABD CDB SSS ∴∆≅∆，即ABD ∆和CDB ∆的面积相等；同理BEM ∆和MHB ∆的面积相等，GMD ∆和FDM ∆的面积相等， 故四边形AEMG 和四边形HCFM 的面积相等，即12S S =． 故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键 是求出ABD ∆和CDB ∆的面积相等，BEP ∆和PGB ∆的面积相等，HPD ∆和FDP ∆的 面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．【例8】如图， 在周长为20cm 的平行四边形ABCD 中，AB AD ≠，AC ，BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，求ABE ∆的周长 ．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴、BD 互相平分， O ∴是BD 的中点 ． 又OE BD ⊥，OE ∴为线段BD 的中垂线， BE DE ∴=．又ABE ∆的周长AB AE BE =++，ABE ∴∆的周长AB AE DE AB AD =++=+． 又ABCD 的周长为20cm ， 10AB AD cm ∴+=ABE ∴∆的周长10cm =．【点评】本题考查了平行四边形的性质 ． 平行四边形的对角线互相平分 ．【例9】如图，ABC ∆是直角三角形，且90ABC ∠=︒，四边形BCDE 是平行四边形，E 为AC 中点，BD 平分ABC ∠，点F 在AB 上，且BF BC =．求证： （1）DF AE =； （2）DF AC ⊥．【解答】证明：（1）延长DE 交AB 于点G ，连接AD ．四边形BCDE 是平行四边形， //ED BC ∴，ED BC =．点E 是AC 的中点，90ABC ∠=︒， AG BG ∴=，DG AB ⊥． AD BD ∴=，BAD ABD ∴∠=∠． BD 平分ABC ∠，45ABD BAD ∴∠=∠=︒，即45BDE ADE ∠=∠=︒． 又BF BC =， BF DE ∴=．∴在AED ∆与DFB ∆中，AD BD ADE DBF ED FB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED DFB SAS ∴∆≅∆，AE DF ∴=，即DF AE =； （2）设AC 与FD 交于点O ． 由（1）知，AED DFB ∆≅∆，AED DFB ∴∠=∠， DEO DFG ∴∠=∠．90DFG FDG ∠+∠=︒， 90DEO EDO ∴∠+∠=︒，90EOD ∴∠=︒，即DF AC ⊥．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全 等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰 当的判定条件．题型3 平行四边形的判定【例10】如图，已知：//AB CD ，BE AD ⊥，垂足为点E ，CF AD ⊥，垂足为点F ，并且AE DF =． 求证：四边形BECF 是平行四边形．【解答】证明：BE AD ⊥，CF AD ⊥，90AEB DFC ∴∠=∠=︒， //AB CD ， A D ∴∠=∠，在AEB ∆与DFC ∆中， AEB DFC AE DFA D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEB DFC ASA ∴∆≅∆， BE CF ∴=．BE AD ⊥，CF AD ⊥， //BE CF ∴．∴四边形BECF 是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形．【例11】如图所示，以ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 在BC 的同侧作等边ABD ∆、BCE ∆、CAF ∆ 请说明：四边形ADEF 为平行四边形．【解答】证明：BCE ∆、ACF ∆、ABD ∆都是等边三角形，AB AD ∴=，AC CF =，BC CE =，BCE ACF ∠=∠， BCE ACE ACF ACE ∴∠-∠=∠-∠， 即BCA FCE ∠=∠，在BCA ∆和ECF ∆中，BC CE BCA ECF AC CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCA ECF SAS ∴∆≅∆， AB EF ∴=， AB AD =， AD EF ∴=，同理：BDE BAC ∆≅∆， DE AF ∴=，∴四边形ADEF 是平行四边形．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质， 得出BCA ECF ∆≅∆是解题关键．【例12】如图1，ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连接EG ，FG ，FH ，EH ． （1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）如图2，若//EF AB ，//GH BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD 除外）．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，EAO FCO ∴∠=∠，在OAE ∆与OCF ∆中EAO FCO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，OAE OCF ∴∆≅∆， OE OF ∴=， 同理OG OH =，∴四边形EGFH 是平行四边形； （2）解：与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有GBCH ，ABFE ，EFCD ，EGFH ；四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，//AB CD ， //EF AB ，//GH BC ，∴四边形GBCH ，ABFE ，EFCD ，EGFH 为平行四边形， EF 过点O ，GH 过点O ， OE OF =，OG OH =，GBCH ∴，ABFE ，EFCD ，EGFH ，ACHD 它们面积12ABCD =的面积，∴与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有GBCH ，ABFE ，EFCD ，EGFH ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形 的判定定理是解题的关键．【例13】如图，已知矩形ABCD ，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是PA ，PR 的中点．如果3DR =，4AD =，则EF 的长为 ．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，ADR ∴∆是直角三角形， 3DR =，4AD =，5AR ∴=， E 、F 分别是PA ，PR 的中点，115 2.522EF AR ∴==⨯=．故答案为：2.5．【点评】本题属中等难度题目，涉及到矩形的性质，勾股定理的运用及三角形中位线的性质．【例14】如图，在ABC ∆中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，M ，N 是AC 的三等分点，EM ，FN 的延长线相交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【解答】证明：连接BD 交AC 于O ，连结BM ，BN ，如图所示：E 是AB 中点，AM MN =，AE BE ∴=，EM 是ABN ∆的一条中位线， //EM BN ∴，即//MD BN ， 同理可证//BM DN ，∴四边形BNDM 是平行四边形． BO OD ∴=，MO ON =， 又AM NC =，AM MO NC ON ∴+=+， 即AO OC =， 又BO OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．第5关 多边形与平行四边形（题册部分）【课后练1】一个正多边形的每一个内角为140︒，求它的边数． 【解答】解：18014040︒-︒=︒，360409︒÷︒=． 故它的边数是9．【课后练2】（1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和．即：求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的大小．（2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等，求1∠的大小． 【解答】解：（1）如图1，设BD 、AD 与CE 的交点为M 、N ；MBE∆和NAC ∆中，由三角形的外角性质知： DMN B E ∠=∠+∠，DNM A C ∠=∠+∠； DMN ∆中，180DMN DNM D ∠+∠+∠=︒， 故180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒； （2）如图2，五角星的五个顶角的度数相等， ∴3602725︒∠==︒， 11802108∴∠=︒-∠=︒．【课后练3】平行四边形的一个角比它的邻角的 2 倍还大15︒，则相邻两个角为( ) A ．30︒，75︒ B ．40︒，95︒ C ．50︒，115︒ D ．55︒，125︒【解答】解：四边形是平行四边形，∴邻角互补，∴设较小角等于x ，则另一个角为：215x +︒， 故215180x x ++︒=︒，解得：55x =︒， 故215125x =︒=︒，即相邻两角为55︒，125︒； 故选：D ．【课后练4】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，6BC =，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．6C ．12D ．24【解答】解：通过观察结合平行四边形性质得：164122S =⨯⨯=阴影． 故选：C ．【课后练5】ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则图中共有平行四边形的个数是 ．【解答】解：图中平行四边形有四边形ABCD ，四边形AECG ，四边形BHDF ，四边形MNQP ，理由：四边形ABCD 是平行四边形（已知），AB CD =，AE EB =，CG GD =， //AE CG ∴，AE CG =，∴四边形AECG 是平行四边形，同法可证四边形BHDF 是平行四边形， //BH DF ∴，//AG EC ，∴四边形MNQP 是平行四边形． 故答案为4．【课后练6】如图，在ABCD 中，点E 是AB 边的中点，DE 与CB 的延长线交于点F ． （1）求证：ADE BFE ∆≅∆；（2）若DF 平分ADC ∠，连接CE ．试判断CE 和DF 的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴．又点F 在CB 的延长线上，//AD CF ∴，12∴∠=∠．点E 是AB 边的中点，AE BE ∴=．在ADE ∆与BFE ∆中，12DEA FEB AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE BFE AAS ∴∆≅∆；（2）解：CE DF ⊥．理由如下：如图，连接CE ．由（1）知，ADE BFE ∆≅∆，DE FE ∴=，即点E 是DF 的中点，12∠=∠． DF 平分ADC ∠，13∴∠=∠，32∴∠=∠，CD CF ∴=，CE DF ∴⊥．【课后练7】如图，AD BD =，AE EC =，延长DE 到F ，使E F D E =，连接AF 、FC 、CD ，求证：四边形DBCF 是平行四边形．【解答】证明：AD BD =，AE EC =，//DE BC ∴，AE EC =，EF DE =，∴四边形ADCF 是平行四边形，//AD FC ∴，即//BD FC ，又//DF BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形．【课后练8】如图所示，已知AD 是ABC ∆的中线，//DE AB ，且DE AB =，连结AE ，EC ，求证：四边形ADCE 是平行四边形．【解答】证明：//DE AB ，且DE AB =，∴四边形ABDE 是平行四边形，AE BD ∴=，//AE BC ， AD 是ABC ∆的中线，BD CD ∴=，AE CD ∴=，∴四边形ADCE 是平行四边形．【课后练9】如图，四边形ABCD 对角线交于点O ，且O 为AC 中点，AE CF =，//DF BE ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【解答】证明：O 为AC 中点，OA OC ∴=，AE CF =，OE OF ∴=，//DF BE ，E F ∴∠=∠，在BOE ∆和DOF ∆中，E F OE OFBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BOE DOF ASA ∴∆≅∆，OB OD ∴=，又OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．【课后练10】在ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE ∆和等边BCF ∆，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，CD AB ∴=，AD CB =，DAB BCD ∠=∠．又ADE ∆和CBF ∆都是等边三角形，DE BF ∴=，AE CF =．60DAE BCF ∠=∠=︒．DCF BCD BCF ∠=∠-∠，BAE DAB DAE ∠=∠-∠，DCF BAE ∴∠=∠．()DCF BAE SAS ∴∆≅∆．DF BE ∴=．∴四边形BEDF 是平行四边形．【课后练11】已知，如图所示，在ABC ∆中，E 是AB 的中点，CD 平分ACB ∠，AD CD ⊥于点D ，连接ED ，求证：（1）//DE BC ；（2）2DE BC AC =-．【解答】解：（1）延长AD 交BC 于点F ， CD 平分ACB ∠，且AD AD ⊥，90CDA CDF ∴∠=∠=︒，ACD FCD ∠=∠，CD CD =， ACD FCD ∴∆≅∆，AC CF ∴=，AD DF =． E 是AB 的中点，DE ∴是ABF ∆的中位线，//DE BC ∴；（2）由（1）知DE 是ABF ∆的中位线，AC CF =，111()()222DE BF BC CF BC AC ∴==-=-， 即2DE BC AC =-．。