初二上学期数学—几何部分
（三角形多边形轴对称最短路径）
三角形与轴对称部分
（一）三角形相关概念
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
性质：
➢任意两边和大于第三边；任意两边差小于第三边。
➢三角形内角和为180°
➢一个外角等于与它不相邻的两内角和
其他定义：角平分线、中线、高、垂直平分线
注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内部；锐角的高在三角形内部，钝角的高在三角形外部！
补充：
三角的角平分线交点：内心（内接圆圆心）特征：内心到三边距离相等
三边的垂直平分线交点：外心（外接圆圆心）特征：外心到三顶点距离相等
三边的中线线交点：重心特征：每条中线分得的两个部分三角形面积相等三边的高交点：垂心特征：锐角三角形在内部，钝角三角形在外部（二）三角形分类
按边分：
按角分：
（三）等腰/等边三角形
定义：有两个边相等的三角形是等腰三角形；有三个边相等的三角形是等边三角形。
➢底角相等（等边对等角）
➢底边“三线合一”（角平分线、中线、高）
➢等边三角形各角都等于60°
➢等边三角形内心、外心、重心、垂心，四心合一
（四）直角三角形
定义：有一个角是90°的三角形是直角三角形
➢两锐角互余
➢勾股定理
➢斜边中线长度=斜边长度的1/2
➢直角三角形垂心位于直角顶点
（五）全等三角形
SSS SAS ASA AAS HL（直角三角形）
（六）其他常考点、注意点
（1）45°、45°、90°直角三角形。
（2）30°、60°、90°直角三角形：30°对应直角边是斜边的一半。
（3）36°、72°、72°等腰三角形：底角是顶角的两倍。
（4）边长是3、4、5的三角形是直角三角形。
（5）边长是5、12、13的三角形是直角三角形。
（6）涉及到未知三角形，需要考虑锐角、钝角两种情况。
多边形部分
性质1：n边形内角和等于（n-2）×180°
性质2：n边形外角和等于360°
性质3：从n边形一个顶点出发，可以画n-3条对角线，n-2个三角形
性质4：n边形总共可以画n*(n-3)/2条对角线，n-2个三角形
最短路径
原理：（1）轴对称原理。
（2）两点连线中，线段最短。
（3）平行四边形对边平行且相等。
解决通用方法：
“无河”问题：先找对称点，再连线。
“过河”问题：先从顶点出发，引与河垂直且长度等于河宽的线段；再通过平行四边形原则找出桥的位置。
常考问题类型
类型1：求角大小、角与角之间的关系
常用方法：
➢内角原理
➢外角原理
➢三角形全等法
➢构造等腰三角形法
➢面积法
➢遇到中点做平行线法
类型2：求边长、边与边之间的关系
常用方法：
➢三角形全等法
➢构造等腰三角形法
➢构造直角三角形法（勾股定理）
➢面积法
➢遇到中点做平行线法
➢线段分割法与线段嫁接法
➢角平分线到两边距离相等法
类型3：证明三角形全等
SSS SAS ASA AAS HL（直角三角形）
求最短距离
思路：两点之间直线距离最短，通常结合对称点求解。
“无河”问题：先找对称点，再连线。
“过河”问题：先从顶点出发，引与河垂直且长度等于河宽的线段；再通过平行四边形原则找出桥的位置。
求最长距离
思路：往往结合三角形第三边大于另外两边之差的特性。
其他
等边三角形旋转类大题
直角三角形旋转类大题
多边形补充
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质定理：
（1)平行四边形的对边相等
（2）平行四边形的对角相等
（3）平行四边形的两条对角线互相平分
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点判定定理：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
性质：
（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
判定定理：
（1）有三个内角是直角的四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：
（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定定理：
(1)四边都相等的四边形是菱形
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形
定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形
性质：
（1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等
(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（等腰)梯形
梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
等腰梯形性质：
(1)等腰梯形两腰相等、两底平行
(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等
(3)等腰梯形的对角线相等
等腰梯形判定定理：
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形
(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
初二上学期数学练习题—几何部分
（1）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底长是________________
（2）在等腰三角形ABC中，BC边上的高AD=1/2BC，求∠BAC的度数________________
（3）若一个等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm，则三角形周长是________________
（4）若三角形三个内角度数的比为2:3:4，则相应的外角比是________________
（5）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2008的位置，则点P2008的点坐标是________________
（6）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…，都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是_______________
（7）正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2015的值为_______________
（8）
如图，在△ABC 中,∠
ABC 的平分线BM 与边AC 的垂直平分线MN 交于点M ，过M 点做MD ⊥AB ，ME ⊥BC ，垂足分别为点D 、E ，求证：AD=CE 。
（9） 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，O 为BC 的中点。
写出：点O 到∆ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)
如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明
（10） 如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE ，AE=3，∠CAE=45°，求AD 的长。
如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD 的长。
旋转类问题专题：
（11） 如图，ADC 和BCE 都是等边三角形，∠ABC= 30°，试说明：BD 2=AB 2+ BC 2。
（12） 如图所示，已知点D 是等边三角形ABC 的边BC 延长线上的一点，∠EBC=∠DAC ，CE ∥AB 。
求证：△CDE 是等边三角形。
C N
A
B
O
M
A
E
B
D
C
（13）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小。
如图8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD 不能重叠），求∠AEB的大小。
（14）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD 交AC于点G，线段AE交CD于点F。
求证：(1) △ACE ≌△BCD (2)AG/GC=AF/FE
（15）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE。
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2。
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，
求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由。