（4.1-13）
I I i
（4.1-14）
则有效值相量与最大值相量的关系为
I Im 2
（4.1-15）
注意： 正弦量和相量之间具有很简单的一一对应的关系。 相量只是表征或代表正弦波，并不等于正弦波。
同理，我们可以知道电压的相量形式 电压振幅相量，记为U m
有效值相量记为U
相量可以在复平面上用矢量表示，这种表示相量的图，称 为相量图把相量表示在平面上就可得出相量图，如图4.1-5 所示。为了表示方便，可以省掉实轴和虚轴，如图4.1-6所
正弦波的有效值等于其振幅的0.707倍。 即
U
1 2
Um
0.707Um
（4.1-5）
I
1 2
Im
0.707
Im
（4.1-4）
2.频率与周期
正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T。每秒内变
化的次数称为频率f，它的单位是赫兹（Hz），简称赫。
频率是周期的倒数，即
f 1 T
（4.1-6）
在我国和大多数国家都采用50 Hz作为电力标准频率，习 惯上称为工频。
模块四
模块四 测量分析正弦交流稳态电路
❖ 教学要求
1、理解正弦稳态电路的基本内容。 2、掌握正弦量的相量表示方法。 3、掌握电阻、电容、电感元件的伏安相
量表示方法。 4、理解瞬时功率、有功功率、无功功率
及视在功率的不同及联系。 5、应用相量法分析电路。 6、了解非正弦周期信号的表示、分解等
基本内容。
4.1.2 正弦量的相量表示
为了摆脱正弦函数运算的繁琐和微分方程求解的困难，用复 数表示正弦量，从而将求解电路的微积分方程问题转化为求 解相量的代数方程问题，简化了正弦稳态电路的分析和计算，
这种方法就称为相量法。
如果设正弦电流为 i I m sin(t i )
则有其有效值和最大值相量形式为：
Im I me ji I m u
些同频率的正弦量用相量表示，有
n U i 0
i 1
（4.2-1）
其中为第i条支路的电压相量。
例如图4.2-1，回路的电压方程为：
u1 u2 u3 u4 0
其KVL相量表达式为：
U1 U 2 U3 U 4 0
(a)
(b)
(c)
图4.2-1 相量形式KVL
在正弦交流电路中，一个回路的各支路电压的相量组成一 个闭合多边形。
2.基尔霍夫电流定律的相量形式
时域内的KCL为
n
ik 0
k 1
正弦交流电路中，各电流同样是与电源电压同频率的正弦 量。对各节点，同频率三角函数式的运算同样可以用对应 的相量运算替代，把这些同频率的正弦量用相量表示，有
n.
Ik 0
k 1
其中为第k条支路的电流相量。
（4.2-2）
由相量形式的KCL可知，正弦交流电路中连接在一个节点 的各支路电流的相量组成一个闭合多边形。
任务一 分析测量正弦交流信号
4.1.1测量正弦交流电的三要素
依据正弦量的概念，设某支路中正弦电流i在选定参考 方向下的瞬时值表达式为
i Im sin(t i )
（4.1-1）
式（4.1-1）中的Im、ω、φi分别称为振幅、角频率和初相，
即为正弦量的三要素。
1.振幅、有效值与瞬时值 正弦量在一个周期内的最大值称为振幅。式（4.1-1）中Im 是电流i在一个周期内所达到的最大值，因此，Im称为电流 i的振幅。
2、如果，如图4.1-4（b)所示，称u与i同相位，简 称同相。其特点是：两正弦量同时达到正最大值， 或同时过零点。
3、如果，如图4.1-4（c)所示，称u与i正交。其特 点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量 的值刚好是零。
4、如果，如图4.1-4（d)所示，称u与i反相。其特 点是：当一正弦量为正最大值时，另一正弦量刚 好是负最大值。
示。
图4.1-5 复平面上的相量表示
图4.1-6 相量图
任务二 分析KVL、KCL的相量形式和基本元件VCR 的相量形式
4.2.1分析基尔霍夫定律的相量形式
1.基尔霍夫电压定律的相量形式
n
由前面学过的知识已知，时域内的KVL为
ui 0
i 1
正弦交流电路中，各段电压是与电源电压同频率的正弦量。
同频率三角函数式的运算可以用对应的相量运算替代，把这
同样，称 u U m sin(t u ) 中的Um为电压u的振幅。
交流电流或电压的瞬时值是随时间而变化的 。
在电工技术中，往往不需要知道它们每一瞬间的大小（即瞬 时值），此时就需要为它们规定一个能表征其大小的特定值。 因为正弦波在一个周期内的平均值为零，作为这一特定值是 不合适的；用它们的最大值也不合适，因为最大值只能表明 某一瞬时的大小；为此提出了有效值的概念：一个周期量和 一个直流量，分别作用于同一个电阻时，如果经过一个周期 （或者其任意整数倍）的时间产生了相同的能量，则这个直 流量的值即为这个周期量的有效值。
如图4.2-2，节点0的KCL相量表达式为 ：
.
.
.
.
I1 I2 I3 I4 0
(a)(b)Fra bibliotek (a)(b)
(a)
(b)
图4.1-4 正弦交流电的相位差
例4.1-1已知某正弦交流电压为，求该电压的 最大值、频率、角频率和周期各为多少？
例4.1-2一个正弦电流的初相角为600 ， 在T/ 4时电流的值为5 A， 试求该电流的有效值。
例4.1-3求两个正弦电流i1(t) =–14.1sin(ωt– 1200 ) A，i2(t) =7.05cos(ωt–300 ) A的相 位差。
角频率ω是指交流电在1秒钟内变化的电角度。若交流电1 秒钟内变化了f次，则可得角频率为
2f 2
T
（4.1-6）
3．初相与相位差
正弦交流电表达式 t i 中称为相位。正弦量在t = 0时
的相位称为正弦电的初相，用φi表示。即
i
t
i t0
初相的正负与大小与计时起点的选择有关。通常在φ∣≤π的 主值范围内取值。 两正弦量间的相位之差称为相位差，即与的相位差表示为
(t u ) (t i ) u i
推出两个同频率正弦量的相位差在任何时刻都是常数，即为 它们的初相之差。规定φ的取值范围是∣φ∣≤π。
如图4.1-3所示为电压u和电流i相位关系图。
图4.1-3 正弦交流电压、电流的初相
1、如果，如图4.1-4（a）所示，称i超前u φ角度， 简称i超前u。从波形图上看i比u先到达正最大值， 即u滞后i φ角度。