2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B⋂=(A) (,2]-∞(B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1]2．设变量x, y满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 23．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4．已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆221 2x y+=相切.其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③5．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 36．在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)1010(B)105(C)31010(D)557． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 48．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D)52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9．已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . 10．61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为 .11．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .14．设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分)已知函数2()226sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望. 17． (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD =CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点. (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直43(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.19．(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.20．(本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.参考答案一、选择题1．D 提示：||222,[2,1]x x A B ≤⇒-≤≤⋂=- 2．A 提示：作出可行域，如图由图可知，当目标函数通过直线20x y --=与直线3y =的交点(5,3)时取得最小值，min 7z =-。
3．B 提示：当1x =时，1S =，此时50S ≥不成立；当2x =时，9S=，此时50S ≥不成立；当4x =时，73S =，此时50S ≥成立；所以输出的73S =。
4．C 提示：①由球体积公式343VR π=知，R 缩小到原来的12时，体积缩小到原来的18是正确的；②不一定相等，标准差反映的是数据的稳定状态，数据越分散，标准差越大，例如：1，3与0，4这两组数的平均数都是2，标准差分别为22221211[(12)(32)]1,[(02)(42)]222S S =-+-==-+-=，所以该命题为假命题；③圆心(0,0)到直线10x y ++=的距离2d =与圆的半径相等，所以直线与圆相切为真命题。
5．C 因为2222,3c e c a b b a a ===+⇒=，故两条渐近线的方程为3y x =32y xp x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得两个交点坐标为33(,22p p p p --，所以213||222AOB p p S AB p ∆=⋅=⇒= 6．C 由余弦定理得2222cos 55AC BA BC BA BC BAC AC =+-⋅∠=⇒=，由正弦定理得：310sin sin sin BC AC BAC BAC ABC =⇒∠=∠∠。
7．B 在同一坐标系中作出1()()2x f x =与0.5|log |y x =，如图，由图可得零点的个数为2。
8．A 取12a=-时，1()||2f x x x x =-+，因为()()f x a f x +<，所以11()||1||22x x x x --+>（1）0x <时，解得304x -<<；（2）102x ≤≤时，解得102x ≤≤；（3）12x >时，解得1524x << 综上可知，12a =-时，35(,)44A =-符合题意，排除B 、D 取1a =时，()||f x x x x =+，因为()()f x a f x +<，所以(1)|1|1||x x x x +++>（1）1x <-时，解得0x >，矛盾；（2）10x -≤≤时，解得0x <，矛盾；（3）0x >时，解得1x <-，矛盾；综上可知1a =时，A φ=，不符合题意，排除C 。
法二：显然0a ≠且()f x 为奇函数当0a >时，()f x 在R 上单调递增，所以()()f x a f x +>与已知矛盾。
当0a <时，由()()||1||()f x a f x x x x a x a +<⇒-<++ 因为11[,]22A -⊂，所以12x =-时，不等式成立，解得1502a -<< 设()||1g x x x =-，显然()g x 单调递增，所以()()1g x g x a <++，如图解221()x x a -=+得212a x a +=-，解221()x x a --=-+得212a x a-=所以22011221122a aa a a⎧⎪<⎪+⎪->⎨⎪⎪-<⎪⎩，解得1502a -<< 9．12i + 由101()(1)1(1)12a a a i i a a i bi a b b -==⎧⎧++=-++=⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩，故12a bi i +=+ 10．15 因为136622166()(1)r rrrrr r T C xx C x---+=-=-，令3602r -=得4r =所以4456(1)15T C =-= 11．23 因为C 的直角坐标系方程为22(2)4x y -+=，所以(2,0)C ，因为(2,23)P ，所以||23PC =。
12．12 因为1||||cos60||2AB AD AB AD AB ⋅=⋅︒=， 所以2111()()||1||224AC BEAB AD AB AD AB AB ⋅=+⋅-+=-++因为1AC BE ⋅=，所以2111||||0||242AB AB AB -+=⇒=。
法二：以A 为原点建立坐标系，如图：因为1,60AD BAD =∠=︒，所以13(2D 。
设(,0)B a ，则13(2C a +，13()22a E + 所以213131(,(,12222224a a AC BE a a ⋅=+⋅-=-++因为1AC BE ⋅=所以211124aa -++= 解得12a =. 13．83由切割线定理得24AE EB ED EB =⋅⇒=，由AB BC ABC ACB ADB =⇒∠=∠=∠ 由弦切角定理得EAB EDA ∠=∠，故,//EAB ABC AE BC ∠=∠，因为//AC BD ，故四边形AEBC是平行四边形。