向量与解析几何相结合专题复习平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。

或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。

一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。

已知||＝λ·||，||＝λ·||，∥＝（1，2）求顶点C 的坐标。

【解】如图：∵||＝λ·||，∴λ＝0||>CB ∵||＝λ·||，∴A 、D 、B 三点共线，D 且λ＝0||>DB ∴||CB =||DB∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。

∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。

~又∵直线CD 的方向向量为＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’（4,－2）， （怎样求对称点）∵A ’（4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0由⎩⎨⎧=-+=01032y x x y 得C （2，4）【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||＝λ·||和∥转化为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||CB =||DB ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。

\【例2】．已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF＋||2MF ＝10。

（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、O 是曲线C 上任意两点，且OP ·=0，求222OQ OP •的值【解】（1）由||1MF＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：1162522=+y x\（2）∵点P 、O 是1162522=+y x 上任意两点设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)（注意 ∵OP ·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①而2、22•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222PQ•＝40041【例3．】在△ABC 中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D 满足：CA ·CD ＝CD ·CB （1）求点D 的轨迹方程； ~（2）求||＋||的最小值。

解：（1）设D （x ，y ），则CA ＝（－1，4），CD ＝（x －3，y ＋1）＝（1，7）∵·＝·∴（－1）·（x －3）＋4·（y ＋1）＝（x －3）·1＋（y ＋1）·7 整理得：2x ＋3y ＝0(2)易得点A 关于直线2x ＋3y ＝0的对称点的坐标为M （－2，－3），∴||＋||的最小值为：||＝133 ：【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x ＋3y ＝0上找一点，使它到点A 、B 的距离之和最小，利用对称点法解决。

二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。

【例4．】已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。

（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ·AN 为定值；（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。

【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为a ＝（1，k ）∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） ！将其代入⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，得：07)1(4)1(22=++-+x k x k ①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>⨯+⨯-+-k k 得：374374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R 来解）（2）利用切割线定理可以证明||·||＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。

根据向量的运算：AM ·＝|AM |·|AN |·cos00＝7为定值。

（注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）（3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+22122117144k x x k k x x、∴OM ·ON ＝21x x ＋21y y ＝1)()1(21212++++x x k x x k ＝81)1(42+++k k k ＝12⇒k ＝1（代入①检验符合题意）【例5．】已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0),OT =(－1，t)，FM =MT ,P 1⊥FT ,P 1∥OF 。

（1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程；（2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP 求证：||1FP+||2FP =1 【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =得M 是线段FT 的中点，得M)21,0( ）∴P 1＝（－x ，21－y ），又∵FT ＝OT －OF ＝（－2，t ），P1＝（－1－x ，t －y ） ∵P1⊥FT ∴2x ＋t(2t－y)＝0 ① ∵P 1∥OF ∴（－1－x ）·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ②由①、②得：x y 42= （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。

）（2）易知F （1，0）是抛物线x y 42=的焦点，由1FP=λ·2FP ， 得F 、P 1、P 2三点共线，即直线P 1P 2为过焦点F 的弦设P 1（11,y x ）、P 2（22,y x ）,直线P 1P 2的方程为：y ＝k(x －1)代入x y 42=得： ;0)2(22222=++-k x k x k 则1x ·2x ＝1，1x ＋2x ＝2242k k +∴||1FP+||2FP ＝111+x ＋112+x ＝1)(2212121+++++x x x x x x ＝1 （注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。

）经检验：当斜率k 不存在时，结论也成立。

【例6．】设平面内向量a 、b 满足：a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝1，点M （x ，y ）满足：x a ＋)4(2-y 与－x a＋互相垂直。

求证平面内存在两个定点A 、B ，使得对满足条件的任意一点M 均有||||-等于定值。

【证明】：由条件得[x ＋)4(2-y ]·（－x ＋），且·＝0从而有：0)4(2222=-+-b y a x ，∵||＝2，||＝1 ∴0)4(422=-+-y x 即：1422=-x y ，>故所求点的轨迹为双曲线，其焦点为)5,0(±，不妨设A 、B 为两个焦点，根据双曲线的定义可得：对于两个定点A 、B ，平面内的任意一点M 均有||||-等于定值【例7．】已知OA ＝)1,3(，（O 为坐标原点），||=1，且OA 与OB 的夹角为600，A 、O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足=λ，OF ＝λ1，点G 满足＝21（1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程； （2）求||的最小值。

【解】∵EG ＝21，∴点G 是EF 的中点， ∴OG ＝21(OE ＋OF )＝21(λOA ＋λ1OB )∵OA 与OB 的夹角为600，|OA |＝2，∴OA ·OB ＝|OA |·||OB ·cos600＝1 $设＝（00,y x ），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11320200y x y x ⎩⎨⎧==⇒1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==212300y x （不合，舍） OG ＝)]1,0(),3[(21λλλ+＝))1(21,23(λλλ+ 设G （x ，y ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==)1(2123λλλy x 消去λ得：033442=+-xy x（2）2||OG ＝)214(412222++=+λλy x ≥41×（4＋2）＝23∴||的最小值为26（当λ＝21±时等号成立）【例8．】如图，点F （a ，0）（a>0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且PM ·＝0，PM ＋0=PN （1）求点N 的轨迹C ；（2）过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点K （－a ，0），与的夹角为θ，求证0<θ<2π)【解】（1）设点P （0，p ），M （m,0），则PM ＝（m ，－p ），＝（a ，－p ）∵·＝0 ∴02=+p am ∴a p m 2-= 设N （x ，y ），由＋=得0),(),0(=-+--p m p y x∴⎩⎨⎧=-=+020p y m x 即⎪⎩⎪⎨⎧==p y a p x 22消去p 得：ax y 42=（2）设AB 的方程为：y ＝k(x －a)，代入ax y 42=0)2(222222=++-a k x k a x k ，设A （11,y x ）、B （22,y x ），则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2212221)2(2a x x k k a x x ＝（1x ＋a ，1y ）＝（2x ＋a ，2y ）·＝2121))((y y a x a x +++＝)4()(122121ax a x x a x x -++++·（24ax ） 。

＝222222244)2(2k a a a k k a a a =-+++>0 KA 与的夹角为θ，KA 与不共线，则θ≠0∵cos θ＝>0 ∴0<θ<2π【例9．】设平面内向量a ＝（x ，0）、b ＝（1，y ），满足： (＋3)⊥(－3) （1）求点P （x ，y ）的轨迹方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m （km ≠0）与所求曲线C 交于A 、B 两点，D （0，－1）且||＝||,求m 的取值范围。