A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(
OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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例5. 在 z 轴上求与两点
及
离的点 .
等距
解: 设该点为M (0,0, z), 因为 M A M B ,
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
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在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0
a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(a
b)
MB
1 2
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2. 设 m i j, n 2 j k, 求以向量 m , n 为边的平
行四边形的对角线的长度 .
解：对角线的长为
|mn|
m n ( 1, 1,1)
m n (1,3, 1)
|mn 3
| m n 11
n m
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
解得
故所求点为
M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考:
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示:
(1) 设动点为M (x , y ,0),利用 M A M B , 得
且
(2) 设动点为 M (x , y , z), 利用 M A M B , 得
M2 M1
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
例6. 已知两点
和
求
解: AB AB 1 (3 , 1 , 2)
AB
14
3 , 1 , 2
14 14 14
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
称 =∠AOB
任取空间一点 O
(0≤ ≤ ) 为向量
,
a
,
b 的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
解:
2×①
x
－23a× ②3b,得
(7
,
1,10)
代入②得
y
1
(3
x
b)
(11,
2 ,16)
2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
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z
r
o
y
x
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例7. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
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作业 P300 3 , 5, 13, 14,
15, 18, 19
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备用题
41k.设, 求m向量3 ia54j m
8k 3
, n
n
p
2i
在
x
4
j
7k
,
p
5i
轴上的投影及在
y
j
轴上的分向量.
解: 因
故在 x 轴上的投影为 a x 13 在 y 轴上的分向量为 ay j 7 j
M B
o
A
中点公式:
B
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设
r
(x,
y , z ), 作 OM
r,
则有
r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos x
rHale Waihona Puke x x2 y2 z2z
r
o
y
x
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cos x
r
cos ry cos rz
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则:
ab b
a
(
ax
,
a
y
,
az
)
平行向量对应坐标成比例:
当
a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
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例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中
a
5x
3x
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （1，1，
2）.
① ②
2. 向量的减法 三角不等式
a
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3. 向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
1可a见 a ; 1a a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1
a.
因此 a
例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解:
已知
3
,
4
,
则
cos 2
1 cos 2
cos 2
1 4
因点
A
在第一卦限
, 故cos
1 2
,
于是
OA
OA
OA
6
(
1 2
,
2 2
,
1 2
)
(3,
3
2 ,3)
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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