函数与极限测试题（二）一. 选择题1.设F()x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( ).（A ）F()x 是偶函数⇔()f x )是奇函数. （B ）F()x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. （C ）F()x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. （D ）F()x 是单调函数⇔()f x 是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xex f 则( ) （A ） 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. （B ） 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点（C ） 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. （D ） 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点. 3．设()1x f x x -=，01x ≠、，，则1[]()f f x = ( ) A ） 1x - B ） x-11C ）X1D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ） 0lim 11(1+ )xx x +→= B ）0lim 1(1+ )xx e x +→= C ） lim 1(1)xx e x →∞=-- D ）lim 1(1)xx e x-→∞=+5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 。

7．极限：∞→x lim332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2．8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ）A.0；B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 21．10．极限: xxx x 2sin sin tan lim 30-→=（ ）A.0；B.∞；C. 161； D.16． 二. 填空题 11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = ； 12. 0arctan lim x x x→= ； 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x = ；14. 0sin 5limx x x →= ； 15. =-∞→n n n)21(lim ；16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是17. 绝对值函数 ,0;()0,0;,0.x x f x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩其定义域是 ，值域是 。

18.符号函数 1,0;0,0;()sgn 1,0.x x f x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩其定义域是 ，值域是三个点的集合 。

19无穷小量是 。

20. 函数()y f x =在点0x 连续，要求函数()y f x =满足的三个条件是 。

三. 计算题 21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ ； 22.设1()32,x f e x -=-求()f x (其中0x >)； 23.求522(3)lim x x x x --→-； 24.求1()1lim xx x x →∞+-； 25.求220sin lim tan 2(3)x x x x x →+； 26. 已知9)(lim =-+∞→x x a x a x ，求a 的值；27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→ ；28.求()()lg 521f x x x =+--它的定义域。

29. 判断下列函数是否为同一函数：⑴22()sin cos f x x x =＋与() g 1x = ；⑵11)(2--=x x x f 与1)(+=x x g ； ⑶()21)(+=x x f 与1)(+=x x g ； ⑷()()21+=x x f 与1)(+=x x g ；⑸2y ax =与2s at =。

30. 已知函数2()1f x x =-， 求()()()1(())32f x f f x ff ++、、；31. 求 746153lim 22--+-+∞→n n n n n ； 32. 求 221lim nnn ++++∞→ ； 33. 求 )1(lim n n n -++∞→； 34. 求 n nn n n 3232lim +-+∞→。

35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y ，2→x ； ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y ，0→x 。

36.求31lim3+→x x ； 37. 求93lim 23--→x x x ；38.求x x x 11lim 0--→； 39.求当x →∞时，下列函数的极限112323+-+-=x x x x y 。

40. 求当x →∞时，函数11232+-+-=x x x x y 的极限。

41.求x x x 3sin lim0→； 42.求20cos 1lim xxx -→； 43.求311lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n ； 44.求nn n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→；45.求x x kx )11(lim +∞→； 46.求xx x ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→11lim ；47.求()xx kx 11lim +→ 。

48. 研究函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(x x x xx f 在点00x =处的连续性。

49. 指出函数11)(-=x x f 在点x =1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

50. 指出函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1)(x x x x f 在点0x =处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

51. 指出函数⎩⎨⎧=≠=0,10,)(2x x x x f 在点0x =处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

52.求xx x )1ln(lim+→； 53.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--→x x x x ln 11lim 21； 54. 试证方程3223230x x x －＋－＝在区间[1，2]至少有一根。

55. 求xxx x 2sin sin tan lim 30-→。

56. 试证正弦函数sin y x =在区间 (-∞， +∞) 内连续。

57. 函数()0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，，l l ；在点0x =处是否连续？ 58. 函数1sin 0()00x x xf x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩， ，；是否在点0=x 连续？ 59. 求极限 xa x x 1lim 0-→. 函数与极限测试题答案（二）一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.【评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函数的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然0x =，1x =为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数在0x =， 1x =点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以0x =为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以1x =为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：+∞=-+→1lim 1x x x ，.1lim 1-∞=--→x xx 从而+∞=-→+11lim x xx e ，.0lim 11=-→-x xx e3 - 8 CACCAC8.∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。

先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 21111lim )11()11)(11(lim 00=++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 -10 DC10.解：原式161821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x . 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。

如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式0)2(lim 30=-=→x x x x .二.填空题11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.2-e ； 16.12x =、；17.),(+∞-∞ ),0[+∞； 18. ),(+∞-∞ }1,0,1{-；19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量20.①函数()=y f x 在点0x 处有定义；②0 x x →时极限0lim ()x xf x →存在；③极限值与函数值相等，即00lim ()()x xf x f x →=。

三. 计算题21.【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x x x -→+-+=x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e 22. ()3ln 1,0f x x x =+> ； 23.3e ； 24.2e ； 25.61； 26.3ln ；27. 3 28. 解：由20x ≥＋解得2x ≥-；由x ≠－10解得1x ≠；由520x ->解得 2.5x <；所以函数的定义域为 2.5>21x x x ≥-≠｛｜且｝或表示为[)()2,11,2.5-⋃。

29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。

⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。

⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。

30.解：()()221112f x x x x +=+-=+；()()()()222421112ff x f x x x x ----＝＝＝；()()()()2323121099f f f f +-+＝＝＝ 。

31.解：222222n 22746153lim 746153lim 746153lim n n n n nn n n n n n n n n n n--+-=--+-=--+-+∞→+∞→+∞→210060031lim 71lim 46lim 1lim 1lim53lim 22=--+-=--+-=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n nn n n n n n n ；32. 解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n ； 33 .解：nn n n n n n n n n ++++-+=-++∞→+∞→1)1)(1(lim)1(lim ；01lim 1lim 1lim111lim11lim=++=++=++=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n nnn n n n34.解：110101lim )32(lim 1lim )32(lim 1)32(1)32(lim 3232lim -=+-=+-=+-=+-+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n nnn 35.解：⑴因为3lim ,2lim 22==+-→→y y x x ，y y x x +-→→≠22lim lim ；所以函数在指定点的极限不存在。