1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题:二次函数抛物线y =(x-2)23的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点= ax 2 把抛物线y =x 2 • bxB.第二象限 D.第四象限C. Mbx c ，且 a ::: 0，a -b c .0，2B. b -4ac =0C. b 2-4ac ：：2D. b —4ac < 0c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是2 y =x -3x 5，则有( A. b =3 , c -1 C. b =3 , c =3B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21下面所示各图是在同一直 角 坐标 系内，二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数k已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二xy =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是(11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的情况是_______________________12. __________________________________________________________________ 已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ .14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________________.A.x 二-2B. x =2C.8.二欠函1数y :=(x -1)2'2的最小值是（)A.-2B. 2C.D. 19.-二-次函数y =ax2bx c的图象如图所M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（A.M0 , N 0, P 0B.M<0 ,N 0, P 0C.M0, N ：：0,P 0D.M0 , N 0, P ：：：0、填空题:7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（）x = —1 D. x =110.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2• k的形式，则y= ____________________16. 如图，抛物线的对称轴是x=：1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是（•.. 3,0），贝U A点的坐标是三、解答题:1. 已知函数y =x1 2 3 bx -1的图象经过点（3，2）（1 ）求这个函数的解析式；（2）当x 0时，求使y》2的x的取值范围.H y2. 如右图，抛物线y = —x2 +5x+ n经过点A（1, 0），与y轴交于点B.与销售时间t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）1 由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系式；2 求截止到几月累积利润可达到30万元；3 求第8个月公司所获利润是多少万元？提高题1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.（1 ）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）•试问：如果货车按原来速炉（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且△ PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标•3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？2. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入—支出费用）为y （元）•（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成y=（x・2）2•竺—的形式，并据此说明：2a 4a当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案一、选择题：二、填空题：21. y =（x -1）2 22.有两个不相等的实数根3. 14. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）12 8 、128 、128 、1285. y x x 3 或y x x 〜3 或y x x 1 或y x x-d5 5 5 5 77 776. y = -x22x1 等（只须a ：：0 , c 0）7. （2 - .3,0）8. x =3 , 1 ：：x ：：5 , 1, 4三、解答题:1.解：（1 函数y =x +bx —1 的图象经过点（3, 2）, ••• 9 +3b —1 =2.解得b =—2 .函数解析式为y =x2 -2x -1. （2）当x =3 时，y =2.根据图象知当x> 3时，y》2.•••当X *0时，使“2的x的取值范围是x> 3.2.解：2（1）由题意得_1+5+ n= 0. • n= -4 .•抛物线的解析式为y =—x +5x—4.（2）：点A的坐标为（1 , 0）,点B的坐标为（0, 4）.• OA=1, OB=4.在Rt A OAB中，AB =JoA2 +OB2 = J17，且点P在y轴正半轴上.①当PB=PA 时，PB=A/17 .二OP = PB—OB =717 —4.此时点P的坐标为（0,祈7 —4）.②当PA=AB时，OP=OB=4 此时点P的坐标为（0, 4）.3. 解: (1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c，「1"a+b+c=-1.5, 3+b+c=-1.5, 玄一2’由题意得<4a+2b+c=—2,或<4a+2b+c=—2,解得初=—2, • s=^t2 _2t . i , , i225a+5b+c =2.5; c=0. c = 0.1 2 1 2(2)把s=30 代入s=—t2—2t，得30= —t2—2t.解得b=10, t2=—6 (舍去)2 2答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t =7 代入，得s =丄X72—2x7=10.5.21 2扌巴t =8代入，得s=—X82—2^8=16.216—10.5=5.5. 答：第8个月获利润5.5万元.4. 解:29（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为y = ax2 +——.105 5 5^9 18因为点A( ,0)或B(—,0)在抛物线上，所以0=a(-—)2，得a =2 2 2 10 12518 2 9 5 5因此所求函数解析式为y x ( w x w ).125 1022(2)因为点D、E的纵坐标为9，所以—』.2，得x= 5220 20 125 10 45 l 9 5 l 9所以点D的坐标为(••. 2,)，点E的坐标为(一..2 ).4 20 4 20所以DE =—(2 — (——-J~2).4 4 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为 ? X1100 X0.01 =275血茫385 (米).25.解：(1) V AB=3，x1:: X2，二X2_X1=3.由根与系数的关系有X1 * X2 =1 .…X1 = -1，X2 = 2 .--OA=1，OB=2，X1 X2 2 .aCC CCV tan ZBAC =tan /ABC =1，二 1 .CA CBOC=2. m - -2, a =1.•••此二次函数的解析式为y =x2 -X -2.(2)在第一象限，抛物线上存在一点P，使&RAC=6.解法一：过点P作直线MN // AC,交x轴于点M,交y轴于N,连结PA、PC、MC、NA.-MN //AC，• •S A MAC=S A NAC=S A PAC=6.由（1）有OA=1，CC=2.1 1AM 2 CN 1 =6 . • AM=6，CN=12. 2 2 • M （5，0），N （0，10）.•直线MN的解析式为y - -2x 10 .二在第一象限，抛物线上存在点P （3, 4）,使S A PAC =6.解法二：设AP 与y 轴交于点D(0, m) ( m>0)直线AP 的解析式为y =mx 川-m .[ 2 o』y =x _x _2,y =mx +m.x 2 -(m 1)x -m -2 =0 .二 x A x P = m 1，二 x P =m 2 .11 1又 S A PAC = S A ADC + S A PDC = CD AO CD X p = CD (AO ' x p ).2 2 2 1 2「• 一( m 2)(1 m 2) =6 , m 亠 5m-6=02m =6 (舍去)或 m =1 .•••在第一象限，抛物线上存在点 P(3, 4)，使S A PAC =6.提高题1.解：（1）V 抛物线 y =X 2 bx c 与x 轴只有一个交点，•方程x 2 bx c =0有两个相等的实数根，即 b 2 —4c = 0.① 又点A 的坐标为（2，0），•4+2b +c = 0.②由①②得b - ~4， a =4 .（2）由（1）得抛物线的解析式为 y=x 2 -4x+4. 当x =0时，y =4 .二点B 的坐标为（0， 4）.在 Rt △ OAB 中，OA=2，OB=4，得 AB =^OA 2 +OB 2 =2^/5 .》=-2x +10, 严x 2 —X -2,得” X, =3 /2 =4 y=4；上=18（舍去）:.△ OAB 的周长为 1 4 2、、5 =6 2^5 .x 27 722.解：(1) S =10 (x ) (4 -3) -x - -x 2 6x 7.10 10 10当 x63 时，S 最大=4 5（一1）7-孑=16. 2 汉（＜） :•当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.（2）用于投资的资金是16_3=13万元.经分析，有两种投资方式符合要求， 一种是取A 、B 、E 各一股，投入资金为5 2 ^13（万元），收益为 0.55+0.4+0.9=1.85 （万元）＞1.6 （万元）； 另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12 （万元）＜13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8 （万元）＞1.6 （万元）.3.解：（1）设抛物线的解析式为 y =ax 2，桥拱最高点到水面 CD 的距离为h 米，则D （5, -h ），B （10, —h -3）.货车按原来速度行驶的路程为 40 X 1+40 X 4=200＜280， :•货车按原来速度行驶不能安全通过此桥 .设货车的速度提高到x 千米/时， 当 4x 40 1 =280 时，x =60.•:要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时. 4.解：（1 ）未出租的设备为x ~270套，所有未出租设备的支出为（2x-540）元.10x -270 1 2 (2) y =(40)x —(2x —540)x 65x 540 .10101 2•: yx 2 ' 65x ' 540.（说明：此处不要写出 x 的取值范围） 10（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为 37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为 11040元，此时出租的设备为 32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租 如果考虑市场占有率，应选择岀租37套.4y = _^x 2 65x 540 二-丄(x -325)211102.5.10 104 (―1)Na = -h 100a =4 —3.:•抛物线的解析式为（2）水位由CD 处涨到点1 a =——— 解得 25,h =1.1 2 y = —一 x .25 O 的时间为1-0.25=4 （小时）， 32套;二当X=325时，y有最大值11102.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为moo元.二次函数测试题(B)一、选择题(每小题4分，共24分)1.抛物线y=—3X2+ 2X—1的图象与坐标轴的交点情况是()(A) 没有交点. (B) 只有一个交点.(C)有且只有两个交点. (D)有且只有三个交点.2 .已知直线y=x与二次函数y=ax2—2X—1图象的一个交点的横坐标为1，贝U a的值为()(A)2 . (B)1 . (C)3 . (D)4 .3 .二次函数y=x2—4x+ 3的图象交X轴于A、B两点，交y轴于点C,则厶ABC的面积为()(A)6 . (B)4 . (C)3 . (D)1 .4 .函数y=ax + bx+ c中，若a> O,b v 0,c v 0，则这个函数图象与X轴的交点情况是()(A) 没有交点.(B) 有两个交点，都在X轴的正半轴.(C) 有两个交点，都在X轴的负半轴.(D) 一个在X轴的正半轴，另一个在X轴的负半轴.5. 已知(2，5)、(4，5)是抛物线y=ax2+ bx + c上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是()a(A) X=. (B) X=2. (C) X=4. (D) X=3.b6. 已知函数y=ax2+ bx+ c的图象如图1所示，那么能正确反映函数y=ax+ b图象的只可能是()二、填空题(每小题4分，共24分)7 .二次函数y=2x2—4X + 5的最小值是_______ .&某二次函数的图象与X轴交于点(一1, 0) , (4 ,0)，且它的形状与y=—x2形状相同.则这个二次函数的解析式为 _________________ .9. ___________________________________________________________ 若函数y= —X2+ 4的函数值y>0，则自变量X的取值范围是__________________________________ .10. 某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：11.函数y=ax2—（a—3）x+ 1的图象与x轴只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为12•某涵洞是一抛物线形，它的截面如图3所示,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点0到水面的距离为2.4m,在图中的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的解析式为____________ .三、解答题（本大题共52分）13. （本题8分）已知抛物线y=x2—2x —2的顶点为A与y轴的交点为B,求过A、B两点的直线的解析式.14. （本题8分）抛物线y=ax2+ 2ax+ a2+ 2的一部分如图3所示，求该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标.15. （本题8分）如图4,已知抛物线y = ax2+ bx+ c（a>0）的顶点是C（0 , 1），直线I :y=—ax+ 3与这条抛物线交于P、Q两点，且点P到x轴的距离为2. （1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标.图416. （本题8分）工艺商场以每件155元购进一批工艺品.若按每件200元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件.问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17. （本题10分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施. 若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+ bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数.⑴若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元.求y关于x的解析式；(2) 求纯收益g关于x的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18 (本题10分)如图所示，图4-①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m,支柱AB3=50m 5根支柱AB、AB2、AR、几已、AR之间的距离均为15m, BB // AA,将抛物线放在图4-②所示的直角坐标系中.(1) 直接写出图4-②中点B、B、B的坐标；(2) 求图4-②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4-①中支柱AB、的长度.四、附加题(本题为探究题20分，不计入总分)19、(湘西自治州附加题，有改动)如图5,已知A(2 , 2) , B(3 , 0) •动点P( m 0)在线段OB上移动，过点P作直线I与x轴垂直.(1)设A OA沖位于直线I左侧部分的面积为S,写出S与m之间的函数关系式；⑵试问是否存在点P,使直线l平分△ OAB勺面积？若有，求出点P的坐标；若无，请说明理由.参考答案一、1 . B 2 . D 3 . C 4 . D 5 . D 6. B二、7. 3 8 . y=—x + 3x+ 4 9 . — 2 v x v 2 10 . 1301 111. a=0, ( -一，0) ；a=1, ( —1, 0) ；a=9, (—, 0)3 3“15 212. y x图5413 •抛物线的顶点为(1 , - 3)，点B 的坐标为(0，- 2) •直线AB 的解析式为y = — x — 2214. 依题意可知抛物线经过点 (1 , 0).于是 a + 2a + a + 2=0，解得 ai =—1, a2= — 2.当 a =— 1或a =— 2时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为(一3, 0)2_ _ _ _15.(1)依题意可知 b =0, c =1，且当y =2时，ax +仁2①，—ax + 3=2②.由①、②解得 a =1, x =1 .故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2 + 1, y = —x + 3； (2) Q — 2, 5)16. 设降价x 元时，获得的利润为 y 元.则依意可得y =(45 — x )(100 + 4x )= — 4x 2 + 80x + 4500，即 y = — 4( x — 10) + 4900 .故当 x =10 时，y 最大=4900(元)17. (1)将(1 , 2)和(2 , 6)代入 y =ax + bx ,求得 a =b =1.故 y =x + x ;⑵ g =33x —150 — y , 即g =—x 2+ 32x — 150; (3)因y = — (x — 16)2+ 106,所以设施开放后第 16个月，纯收益最大.令 g =0,得—x 2+ 32x — 150=0.解得 x =16 ±、、106 , x 〜16— 10.3=5.7(舍去 26.3).当x =5时，g v 0,当x =6时，g > 0,故6个月后，能收回投资18. (1) B 1(-30, 0) , B 3(0,30) , B 5(30,0);(2)设抛物线的表达式为 y =a(x -30)(x • 30),把 B 3(0,30)代入得 y 二 a(0 -30)(0 30) =30 .1二 a =301•/所求抛物线的表达式为：y—(X -30)( x 30). 30(3)T B 4点的横坐标为15,145 二 B 4 的纵坐标 y 4(15 -30)(15 30)= 302••• A 3B 3 =50，拱高为 30,由对称性知： A 2B 2 二 A 4B 4 =^(m). 2•••立柱A 4B 4四、=20乞亜(m)2 222 21 219. (1)当 0W 贰 2 时，S =—m 2 ;当 2v me 3 时, 2 —m + 6m-6. (2)若有这样的P 点，使直线 3 1 3v 2.由于△ OAB 勺面积等于3,故当I 平分△ OA 画积时，S=2 ..••丄m 2.解得叶.3 •故存在这样的 P 点，使I 平分△ OAB 的面积•且点 P 的坐标为（.3 , 0） •1 1s=— X 3 x 2——(3 — m ( — 2m^ 6)=2 2I 平分△ OAB 的面积，很显然 0v m。