高三数学一轮复习——椭圆
知识梳理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
图形
性质范围－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝c
a∈(0，1) a，b，c的关系c2＝a2－b2 [微点提醒]
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20
b 2<1；
(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20
b 2＝1；
(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20
b 2>1.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F 1F 2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于|F 1F 2|时，不存在这样的图形. (2)因为e ＝c
a ＝
a 2－
b 2
a
＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a 2
，所以e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修2－1P49T1改编)若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是________.
解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2
－c 2
＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16＝1.
答案 x 225＋y 2
16＝1
3.(选修2－1P49A6改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________. 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1， 所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)，
由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入x2
5＋y2
4
＝1，得x＝±15
2
，
又x＞0，所以x＝15
2
，
∴P点坐标为(15
2
，1)或(15
2
，－1).
答案(15
2，1)或(
15
2，－1)
4.(2018·张家口调研)椭圆x2
16＋
y2
25＝1的焦点坐标为()
A.(±3，0)
B.(0，±3)
C.(±9，0)
D.(0，±9)
解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
答案 B
5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：x2
a2＋
y2
4＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为
()
A.1
3 B.
1
2 C.
2
2 D.
22
3
解析不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，
所以a2＝4＋4＝8，所以a＝22，所以椭圆C的离心率e＝c
a ＝2
2.
答案 C
6.(2018·武汉模拟)曲线x2
25＋
y2
9＝1与曲线
x2
25－k
＋
y2
9－k
＝1(k<9)的()
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
解析曲线x2
25
＋y2
9
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦
距为8，离心率为4
5.曲线
x2
25－k
＋y2
9－k
＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴
长为225－k，短轴长为29－k，焦距为8，离心率为4
25－k
.对照选项，知D。