45分钟滚动基础训练卷(十)[考查范围：第32讲～第35讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是________．2．已知x 是1,2，x,4,5这五个数据的中位数，又知－1,5，－1x，y 这四个数据的平均数为3，则x ＋y 最小值为________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1(x ≤0)，－2x (x >0)，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A ＝________.5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy的取值范围是________．6．[2011·广州调研] 在实数的原有运算法则中，定义新运算a b ＝a －2b ，则|x (1－x )|＋|(1－x )x |>3的解集为________．7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a <0)，则f (x 1)＋f (x 2)2________f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22(用不等号填写大小关系)．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式⎝⎛⎭⎫ax －1a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围． 10．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点是(－1,3)，又f (0)＝4，一次函数y ＝g (x )的图象过(－2,0)和(0,2)．(1)求函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的解析式；(2)当x >0时，试求函数y ＝f (x )g (x )－2的最小值．11．[2011·常州调研] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a nn －1－a n －1n －2＝3(n －1)(n －2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．12．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°(如图G10－1)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ．记防洪堤横断面的腰长为x (m)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (m)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 m ，则其腰长x 应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．45分钟滚动基础训练卷(十)1．(－∞，3) [解答] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，(x －2)(x －1)<2或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，(2－x )(x －1)<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x 2－3x ＋2<2或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)(x －1)<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，0<x <3或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－3x ＋2>－2⇒2≤x <3或x <2⇒x <3. 2.212 [解析] ∵－1＋5－1x ＋y4＝3，∴y ＝8＋1x， ∴x ＋y ＝x ＋8＋1x.又∵2≤x ≤4，∴当x ＝2，(x ＋y )min ＝212.3.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ [解析] 当x ≤0,2x 2＋1－x ≤2，解得－12≤x ≤0；当x >0，－2x －x ≤2，∴x >0.综上所述x ∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 4．(0,1] [解析] 由2x －x 2>0，得x (x －2)<0⇒0<x <2，故A ＝{x |0<x <2}．由x >0，得2x >1，故B ＝{y |y >1}，(∁R B )＝{y |y ≤1}，则(∁R B )∩A ＝{x |0<x ≤1}．5.⎣⎡⎦⎤－83，32 [解析] 令t ＝y x ，则u ＝t －1t .作出线性区域，则t ＝yx表示区域内的点与坐标原点所连直线的斜率，由下图可知，当过A (3,1)时，t min ＝13，当过B (2,1)时，t max ＝2；而u＝t －1t 在t ∈⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，故－83≤u ≤32.6．(－∞，0)∪(1，＋∞) [|x －2(1－x )|＋|(1－x )－2x |>3，即|3x －2|＋|1－3x |>3.分类讨论：当x >23时，绝对值不等式可化为3x －2－1＋3x >3，即x >1，故x >1；当13≤x ≤23时，绝对值不等式可化为2－3x －1＋3x >3， 即1>3(舍去)；当x <13时，绝对值不等式可化简为2－3x ＋1－3x >3，即x <0，故x <0.则解集为x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．7．② [解析] 因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝f (x )，所以f (x )为⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的偶函数，又f ′(x )＝2x ＋sin x ，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f ′(x )>0，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增． 由f (x 1)>f (x 2)得f (|x 1|)>f (|x 2|)，故|x 1|>|x 2|，从而②成立．8．≥ [解析] f (x 1)＋f (x 2)2－f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝2x 1＋a ln x 1＋2x 2＋a ln x 22－2×x 1＋x 22－a ln x 1＋x 22＝a ln x 1x 2－a ln x 1＋x 22＝a ln ⎝⎛⎭⎫x 1x 2×2x 1＋x 2＝a ln 2x 1x 2x 1＋x 2，因为x 1＋x 2≥2x 1x 2，所以2x 1x 2x 1＋x 2≤1，ln 2x 1x 2x 1＋x 2≤0. 又a <0，故a ln 2x 1x 2x 1＋x 2≥0，所以f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.9．[解答] (1)由－x 2－2x ＋8>0，得A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1得，当x >－1时，y ≥2－1＝1；当x <－1时，得y ≤－3， 故B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，当a >0时，则C ＝⎣⎡⎦⎤－4，1a 2，不满足条件； 当a <0时，C ＝(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫1a 2，＋∞，故1a 2≥2，得－22≤a ≤22，此时－22≤a <0. 故a 的取值范围为－22≤a <0.10．[解答] (1)设f (x )＝a (x ＋1)2＋3， ∵f (0)＝4，解得a ＝1.∴函数解析式为f (x )＝x 2＋2x ＋4.又由已知条件，g (x )解析式满足x －2＋y2＝1，∴g (x )＝x ＋2.(2)y ＝f (x )g (x )－2＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2，由于x >0，所以y ＝x ＋4x ＋2≥2x ·4x＋2＝6.当且仅当x ＝4x(x >0)，即x ＝2时，y 取得最小值6.11．[解答] (1)方法一：当n ＝3时，a 32－a 21＝32，a 3＝1；当n ＝4时，a 4＝3；当n ＝5时，a 4＝5.归纳得，n ≥2时，a n 是以a 2＝－1为首项，2为公差的等差数列，通项公式为a n ＝2n －5.下面代入检验(或用数学归纳法证明)； n ≥3时，a n －1＝2n －7，∵a n n －1－a n －1n －2＝2n －5n －1－2n －7n －2＝3(n －1)(n －2)， ∴n ≥2时，a n ＝2n －5满足条件．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.方法二：∵当n ≥3，n ∈N *时，a n n －1－a n －1n －2＝3(n －1)(n －2)＝3⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1，∴a n ＋3n －1＝a n －1＋3n －2， ∴当n ≥2时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋3n －1是常数列． ∴n ≥2时，a n ＋3n －1＝a 2＋32－1＝2，a n ＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2，方法三：∵当n ≥3，n ∈N *时，a nn －1－a n －1n －2＝3⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1，∴a 32－a 21＝3⎝⎛⎭⎫1－12，a 43－a 32＝3⎝⎛⎭⎫12－13，…，a n n －1－a n －1n －2＝3⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1.把上面n －2个等式左右两边分别相加，得a nn －1－a 2＝3⎝⎛⎭⎫1－1n －1，整理，得a n ＝2n －5，n ≥3；当n ＝2时，满足．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－4n ＋4，n ≥2.当n ＝1时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为λ≥25，不满足条件．当n ≥2时，S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5≥0， 令f (λ)＝2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5，由已知得，f (λ)≥0对于λ∈[0,1]恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≥0，f (1)≥0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧n 2－6n ＋5≥0，n 2－2n ＋3≥0.解得n ≤1或n ≥5.∴满足条件的k 存在，k 的最小值为5.12．[解答] (1)93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2.由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6.∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x <6)．(2)令y ＝18x ＋3x2≤10.5，得3≤x ≤4.∵[3,4]⊂[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]．(3)y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x 2＝63，当并且仅当18x ＝3x 2，即x ＝23∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为6 3 m ，此时腰长为2 3 m.。