第2课时三角函数线
学习目标
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一有向线段
思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？
思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？
梳理有向线段
(1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．
(2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线．
(3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.
(4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆．
知识点二三角函数线
思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
思考2三角函数线的方向是如何规定的？
思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？梳理
知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域
思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域
类型一 三角函数线
例1 作出－5π
8的正弦线、余弦线和正切线．
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝1
2的角α的终边，并求角α的取值集合．
类型二 利用三角函数线比较大小 例2 利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π
5
的大小．
反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负． 跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥
3
2
； (2)cos α≤－1
2.
反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期． (2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3 已知－12≤cos θ<3
2，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域． (1)y ＝3tan x －3； (2)y ＝lg(sin x －2
2
)＋1－2cos x .
反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
跟踪训练4 求函数f (x )＝2sin x －1的定义域．
1．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为________． 2．如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线分别是____________．
3．设a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π
7，则a 、b 、c 的大小关系是________．(按由小到大顺序
排列)
4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．
5．利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合： (1)cos α＞－
22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12
.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了．
★答案★精析
问题导学 知识点一 思考1 不一样．
思考2 用有向线段AB 和BA 表示较好． 梳理 (1)方向 (3)正号 负号 (4)原点 单位长度 知识点二
思考1 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .
思考2 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理 MP OM AT 知识点三
思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y 轴上时，任取一点P ，其横坐标x 都为0，此时y
x 无意义，故tan α无意义．
题型探究
例1 解 如图所示，
sin ⎝⎛⎭⎫－5π
8＝MP ， cos ⎝⎛⎭
⎫－5π
8＝OM ，
tan ⎝⎛⎭
⎫－5π
8＝AT . 跟踪训练1 解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为1
2
.所以在y 轴上取点
⎝⎛⎭
⎫0，12，过该点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因
而角α的取值集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π
6
，k ∈Z }．
例2 解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π
5
＝AT ′.
显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3>sin 4π
5
；
|OM |<|OM ′|，符号皆负，
∴cos 2π3>cos 4π5；
|AT |>|AT ′|，符号皆负， ∴tan 2π3<tan 4π5
.
跟踪训练2 sin 1 155°>sin(－1 654°)． 例3 解 (1)作直线y ＝
3
2
交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π
3
，k ∈Z }．
(2)作直线x ＝－1
2交单位圆于C ，D 两点，连结OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图(2)
所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋
2π3≤α≤2k π＋4π
3
，k ∈Z }． 跟踪训练3 {θ|2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2
3π，k ∈Z }
例4 解 (1)为使y ＝3tan x －3有意义， 则3tan x －3≥0，所以tan x ≥
3
3
， 所以角x 终边所在区域如图所示，
所以k π＋π6≤x <k π＋π
2
，k ∈Z ，
所以原函数的定义域是{x |k π＋π6≤x <k π＋π
2，k ∈Z }．
(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩
⎪⎨⎪
⎧
1－2cos x ≥0，sin x －2
2>0， 即⎩⎨⎧
cos x ≤12
，
sin x >2
2
.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π
4
，k ∈Z }．
跟踪训练4 {x |π6＋2k π≤x ≤5π
6＋2k π，k ∈Z }
当堂训练
1．{x |2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6，k ∈Z }
2．MP 、AT 3.b <a <c 4.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π
3＋2k π ，k ∈Z 5．解 (1){α|2k π－
3π4＜α＜2k π＋3π
4
，k ∈Z }．
(2){α|k π－π2<α≤k π＋π
6
，k ∈Z }．
(3)|sin α|≤12，即－12≤sin α≤1
2
，
{α|k π－π6≤α≤k π＋π
6
，k ∈Z }．。