勾股定理拓展与拔尖二. 知识点回顾1、 勾股定理的应用: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有:（１）已知直角三角形的两边求第三边(２)已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 (3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边(如ｃ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠Ｃ为直角的直角三角形;若2c ≠22b a + 则△AB Ｃ不是直角三角形。
3. 勾股数: 满足22b a +=2c 的三个正整数,称为勾股数如(1)３，４，５； (2)5，1２，１3； (3）6，８，１０;(4）8,15,17 （5）７,24,25 （6）9， 40, ４1三.典型题剖析:针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形1、 在正方形ＡB ＣD 中,F 为ＤC 的中点,E 为BC 上一点,且EC=41BC,求证:ÐEFA=90°。
针对训练:1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠Ｃ的对边分别是a 、ｂ、c,满足a 2+b 2+c 2+3３8=10a ＋２4b+2６ｃ.试判断△A ＢC 的形状．考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△A ＢＣ中，底边BC =２０,D 为ＡB 上一点,CD ＝16，BD ＝12,求△AB Ｃ的周长.针对训练:1、.已知：如图,四边形ＡBCD ，AD ∥BC ，AB ＝4，BC=6,CD=5，AD=3．求:四边形A ＢＣD 的面积．考点三 勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形AB ＣD 中,AB=３，ＢC=5,在CD 上任取一点E ，连接B Ｅ,将△BC Ｅ沿BE 折叠,使点E 恰好落在AD 边上的点Ｆ处，则CE 的长为 .AB DCFE针对训练：1、如图,在矩形ABCD中,ＢC=6,ＣD=3,将△BCＤ沿对角线BＤ翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点Ｅ，则线段DE的长为( )A．３B．Ｃ.5 Ｄ.考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形,上部是以AB为直径的半圆,其中AD＝２。
3 m,AB=2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高2．５m,宽1。
６m,试猜想这辆大卡车能否通过厂门?请说明理由.考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ＡBCD,长为10㎝,宽为4㎝,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点Ｐ落在AＤ边上(不与A、Ｄ重合)并在AD上平行移动:ﻫ①能否使你的三角板两直角边分别通过点Ｂ与点Ｃ?若能,请你求出这时AＰ的长;若不能,请说明理由。
②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在ＡＤ上移动，直角边PＨ始终通过点B，另一直角边PF与D Ｃ的延ﻫ长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝?若能，请你求出这时ＡP的长;若不能，请说明理由。
ﻫﻫ针对训练:1观察下列图形，回答问题：问题（1):若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为９,正方形Q的面积为１5，则正方形M的面积为。
问题（２）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆,这三个半圆的面积之间的关系是;（用图中字母表示)ﻫ问题（3）:如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆,请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积.ﻫ考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A,Ｂ,C,D正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.针对训练:１如图所示,铁路上有A、B两点(看做直线上两点)相距４0千米，C、D为两村庄(看做两个点），AＤ⊥AB,BＣ垂直AB,垂足分别为Ａ、B,AD＝24千米,BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得Ｃ、Ｄ两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距Ａ点多少千米处？ﻫ考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cｍ，高为3cｍ的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕,则丝带的最短长度为cm.(结果保留π)针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm,2cm和1cｍ的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点Ａ处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( ）A.5cm Ｂ.5。
4cｍC．６。
1ｃm D．7cmﻫ考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：（1）（３，4, 5）, （6, 8，1０) ……3n,4n，5n (n是正整数）(2）(5，12,1３）,（7,24,25)，( 9，40,41）……(３）(8，15,1７)，（12，35,３7）……(４）m2－n2,2mn,ｍ2+n2 (ｍ、n均是正整数,ｍ〉n) 简单列出一些:课堂小测试(8分钟)1． 一个直角三角形,有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ )Ａ。
第三边一定为10 B.三角形的周长为２4 Ｃ。
三角形的面积为2４ D.第三边有可能为102.已知一个Ｒt △的两边长分别为3和４，则第三边长的平方是( ) A 、２5 ﻩﻩB 、１４ﻩﻩ C 、7ﻩﻩD 、７或25３.下列各组数中,以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ )A 、a=1。
5,b=2, c=3ﻩﻩＢ、a ＝7，b=24,ｃ=2５ Ｃ、a=6, b=8, ｃ=１０ D 、a ＝3,b ＝4，c=５3.三角形的三边长为(ａ+b ）2＝c 2+2ab ，则这个三角形是( ）A. 等边三角形； Ｂ． 钝角三角形; C 。
直角三角形; D 。
锐角三角形。
4、一个三角形的三边的长分别是３,４,5,则这个三角形最长边上的高是（ ) A.4B.310 C 。
25Ｄ．512 5．已知R ｔ△AB Ｃ中,∠C ＝９0°,若a+ｂ=14cm ，c=1０cm,则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、2４cm ２B 、３6cm 2ﻩﻩC 、48cm ２ ﻩD 、60ｃm 26、直角三角形中,斜边长为5c ｍ,周长为１2cm,则它的面积为( )。
A.１２2cm B ．62cm Ｃ.82cm D ．92cm7．等腰三角形底边上的高为６，周长为36,则三角形的面积为( ）A、５6ﻩﻩB、48 ﻩC、40ﻩﻩD、328.Rt△一直角边的长为9，另两边为连续自然数,则Ｒt△的周长为（）A、121B、120 ﻩＣ、90 Ｄ、不能确定9.已知,如图，一轮船以１6海里／时的速度从港口Ａ出发向东北方向航行，另一轮船以12海里／时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )A、２５海里ﻩB、３0海里ﻩC、3５海里Ｄ、40海里１0。
放学以后，小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用１５分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( ).A、60０米Ｂ、800米Ｃ、１０0０米D、不能确定勾股定理独立作业(20分钟）1．下列各组数据中,可以构成直角三角形的是( )A．１３、16、１9 B．17、21、2３ C.１8、24、36 Ｄ．１2、３5、37２．有长度为9cm、１2cm、15cｍ、36cm、３９ｃm的五根木棒,可搭成(首尾连接）直角三角形的个数为( )A．1个 B.2个C．３个D．4个3．在△ABC中,AB＝12cm，ＢC=16cｍ，AC=２０cm,则S△ABＣ为( ）A.9６ｃm2 Ｂ．１2０cm２ C.1６0 ｃm２ D.200 cm24.若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ）A．１︰2︰4 B.1︰３︰5 Ｃ．３︰4︰７Ｄ．5︰12︰135.若直角三角形的两直角边的长分别是10ｃｍ、24cｍ,则斜边上的高为( )A．６cｍ B.17ｃm C．24013cm D．12013cm6．有下面的判断：①△ABＣ中，222a b c+≠，则△ＡBC不是直角三角形。
②△ＡBC是直角三角形,∠Ｃ＝9０°,则222a b c+=。
③若△ABC中,222a b c-=,则△ABC是直角三角形。
④若△ＡＢC是直角三角形，则2a b a b c（+）(-)=。
以上判断正确的有（ ）A.4个 Ｂ.3个 C.2个 D ．１个7．Ｒｔ△ABC 的两边长分别是3和４，若一个正方形的边长是△ABC 的第三边,则这个正方形的面积是( )A.２5B.7C.12 Ｄ．2５或７ 8.一个三角形的三边之比是３︰4︰5,则这个三角形三边上的高之比是( ) A ．２0︰1５︰1２ B ．３︰4︰5 Ｃ．5︰4︰3D.1０︰8︰2 9.在△ABC 中，如ＡＢ=2BC,且∠B ＝2∠A ，则△AB Ｃ是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 Ｄ．不能确定１0.如图是一个边长为6０ｃｍ的立方体A ＢC Ｄ-EFGH ，一只甲虫在菱EF 上且距F 点1０ｃm 的Ｐ处,它要爬到顶点D ，需要爬行的最近距离是（ ）Ａ.13０ B.10157C.97D.不确定11.若△ＡBC 中，∠Ａ=2∠B ＝3∠C ，则此三角形的形状为( ） A ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 C ．钝角三角形 D.无法确定12．如图，△A ＢC 中，∠C=9０°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E,下面等式错误的是( )Ａ．222AC +DC =ADB.222AD DE AE -=C.222AD =DE +ACD ．2221BD BE BC 4-=。