v c
k nω
n
c
将k在ω0附近展开：
k
k0
k ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
对 E作付里叶变换： E(x,t) 1
e(k, ω)ei(ω•tk•x)d kd ω
2π
e(x,t) 1
E(x, t)ei(ω•tk•x)dxd t
2π
NLSE的导出
上式称为Lax方程。算符L、M 称为Lax对。找到Lax对就可以
用反散射法求解非线性方程。
反散射法结果
对于一般的NLSE，i h h 2 2 b | |2 V (x,t)
2m
分四种情况讨论：
NLSE的反散射解法
V (x,t) 0,b const 0 V (x,t) const,b 0
E i ω e, E ike
t
x
ω ~ i , k ~ i
t
xkk0Fra bibliotekk ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
k k ' ω 1 k ''( ω)2 2
i ik ' 1 k '' 2 x t 2 t2
E E 1 2E
i ik ' k ''
冲形成孤立波。
NLSE的解析解法
反散射解法
微扰法
高阶NLSE
变分法
NLSE的反散射解法
Schrödinger方程的反散射问题 已知散射数据km, Cm(km), R(k), T(k), ψ(x→∞),则位势 u(x)为：
u(x) 2 d K (x, y,t) dx
其中，K满足：K(x, y,t) B(x, y,t) B( y z,t)K(x, z,t)dz 0
V (x,t) 2a
V (x,t) kx2 A(t)x B(t)
得到的是稳定的孤子解，非 线性作用把原来的自由粒子 “畸变”为一个孤立子
不稳定的高斯型波包
有限差分法
NLSE的数值解法
基本思想与步骤： 1。采用一定网格划分方式离散化场域 2。基于差分原理，对场域内的偏微分方程以及定解条件进行差分 离散化， 对每一个离散的节点列出差分方程。 3。利用迭代法求解差分方程组 4。利用插值法，从离散解得到定解问题在场域内的近似解。
非线性光学：光脉冲在色散与非线性介质中的传输 非线性光学的自陷现象
凝聚态物理：热脉冲的传播 激光束中原子的Bose-Einstein凝聚效应
电磁学： 超导电子在电磁场中的运动
NLSE的导出
电场强度 E 随时间 t 和频率ω的分布为：
E E(x, t)ei(k0xw0t )
考虑光纤的情况，光纤中存在色散，光的传播速度与频率ω有关：
NLSE的数值解法
光孤子在光纤中传输满足NLSE：i
q z
1 2
2q t 2
|
q
|2
q
iq
假设光纤无损耗，取 0
初值条件为：q(t, z 0) Asec ht
采用差分格式：
i
q
i1
j
q i1 j
1
(
q
j
i1 1
2q j
i1
q i1 j1
qi j1
2q j
i
qi j1
)
1
(|
q
i
|2
q
i
|
q
) z ] sec
h[
xn x0
]
将以上两解分别代入DNLSE中，通过数值求解可以得到
离散衍射或是光学局域态模式图
离散非线性薛定谔方程
参考文献
杨伯君、赵玉芳，《高等数学物理方法》，北京邮电大学出版社， P60-84、P98-105、P213-214
周凌云等，《非线性物理量理论及应用》，科学出版社，P48-52 庞小峰，《非线性量子力学理论》，重庆出版社，P103-105 杨祥林、温扬敬，《光纤孤子通信理论基础》，国防工业出版社
x
t 2 t2
NLSE的导出
vg
ω k
1 , k '' k'
1 (
ω vg
)
1
vg 2
vg ω
且 E(x 表vgt示) 光的包络以群速度vg传播，
ξ ε2 x, τ ε(t k ' x), ε ω/ω 以群速度移动的新坐标
i
E ζ
k '' 2
2E τ2
0
NLSE的线性部分
当考虑Kerr非线性作用（ n n0 (ω) ）n2后| E，|2
B( )
n
2
C j (k j )ek j
j 1
1
2
R(k)eik dk
对于一般的非线性方程 u k(u) ， t
首先选择一个微分算子L=L
(u,
ux,
…)，使：L
,
d
dt
0
NLSE的反散射解法
再选另一个线性算子M=M(u,ux,…) , 使： t M Lt L t t t t Lt LM M ML Lt (ML LM ) [M , L]
离散非线性薛定谔方程
NLSE需要改写为离散形式，也即离散非线性薛定谔方程 (discrete nonlinear Schrödinger equation, DNLSE)：
i
dan dz
C(an1
an1)
| an
|2
an
0
在理论上，假设第0个波导的电场为A0，并取无限远波导 处的电场大小为0，于是第n个波导的电场可以写成：
H. S. Eisenberg and Y. Silberberg, “Discrete Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays”, VOLUME 81, NUMBER 16, （19 OCTOBER 1998）
i
E ζ
k '' 2
2E τ2
g
|
E
|2
E
0
g
n2 λε2
NLSE的导出
归一化，并忽略损耗和高阶扰动项，得到标准的
非线性薛定谔方程：
i
q Z
1 2
2q T 2
|
q
|2
q
0
在量子力学中，2 (i V ) 0
t
V ~ | E |2
V 0
当 | E增| 大时，它对光起捕获作用，将包络由
色散引起的展宽变窄，两个作用相平衡可以使脉
可无畸变地远距离传输光信号。 光纤孤子
当光脉冲在光纤中传输时，光纤的群速度色散使脉冲在传输过程 中不断展宽，光线损耗也使脉宽呈指数展宽。而光纤的非线性使脉冲 压缩。若色散与非线性作用平衡或是相抵消时，可产生光纤孤子。描 述这个系统的方程就是NLSE。
光纤孤子与光纤孤子通讯
在异常色散区（ k ''
2k
2
0）
i
u
1 2
2u
2
|u
|2
u
0
i
基阶孤子解为：u( , ) sec h( )e 2
在正常色散区（ k ''
2k
2
0）
i u 1 2u | u |2 u 0
2 2
基阶孤子解为：u(, ) ei2 sec h( )
离散非线性薛定谔方程
在离散情况下，比如一个一维光学波导阵列，或是光子晶格
非线性薛定谔方程
Nonlinear Schrödinger Equation
杨旭 0510288 王群 0510268
背景介绍 NLSE的导出 NLSE的解析解法
——反散射解法 NLSE的数值解法 NLSE在光纤孤子传输中的应用
背景介绍
一、非线性量子力学： 德布罗意 & “非线性波动力学” 线性量子力学——微观粒子在线性场中或是线性作用下的运动规律 二、非线性薛定谔方程NLSE 广泛的应用——
En (z) A0 (i)n exp(i z)Jn (2Cz)
离散非线性薛定谔方程
其中Jn是n阶贝塞尔函数。当假设入射光束是低功率时 将 会得到离散衍射，也就是光束的能量分散到波导阵列的量的
边瓣；当入射光束为高功率时，得到的则是光学局域态，此 时沿波导阵列的光场分布为：
En
(z)
A0
exp[i(2C
i1
|2
q
i1)
0
2z 2
2t2
2t2
2j
j
j
j
初始和边界条件分别为： qj0 q(tz 0) Asech( jt)
qNi q(Ntz) 0 qNi q(Ntz) 0
光纤孤子与光纤孤子通讯
背景介绍 普通光纤通信要在几十公里处设一中继站，对信号脉冲进行整形、
放大、检查误码、再发射。 光纤孤子通讯不需要中继站，只要对光纤损耗进行增益补偿，即
K. G. Makris, J. Hudock, D. N.Christodoulides, and G. I. Stegeman,“ Lattice surface solitons"
H. S. Eisenberg, R. Morandotti, and Y.Silberberg, “Optical discrete solitons in waveguide arrays.I. Soliton formation”, J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 19, No.12（December 2002 ）