GP方程很好的描述BEC的行为
iht
r,t




h2 2m
2
Vext
r

g

r,t

2


r,t

非线性项
G-P方程是非线性薛定谔(Nonlinear Schrödinger)方程的一种， 这类方程大多都只能通过数值办法求解。
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理论物理
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Outline
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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理论物理
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III. 算符劈裂算法
Gross-Pitaevskii (G-P)方程:
iht
r,
t




h2 2m
2
Vext
r


g r,t 2
非线性项


r,t

it r,t H Tˆ Vˆextnon r,t
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理论物理
5/50
Outline
➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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理论物理
6/50
II. Gross-Pitaevskii (G-P) 方程
薛定谔(Schrödinger)方程：
iht
r,
t




h2 2m
2

Vext
r



r,
t

Gross-Pitaevskii (G-P)方程:
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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理论物理
2/50
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➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
方程的解总可以写成： r, t e i TˆVˆextnon t r, 0
注：这里e指数上 Tˆ 和Vˆ 是算符形式。在学量子力学算符运算的时候，只
有当两个算不符对对易时易，才的有时TˆVˆ 候VˆTˆ 如何处理呢？
e e e e e i TˆVˆextnon t
1
(Bˆt)

1 2
(Bˆt)2

O(t)3

1
(
Aˆ t 2
)

1 2
(
Aˆt 2
)2

O(t)3



1

(
Aˆ

Bˆ )t

1 2
(
Aˆ

Bˆ )t
2

O(t)3

方程的解总可以写成： r, t e i TˆVˆextnon t r, 0
什么是BECs? 萨特延德拉·纳特·玻色
阿尔伯特·爱因斯坦
Tc 临界温度 n 粒子密度 m 每个玻色子的质量 ħ 约化普朗克常数 kB 玻尔兹曼常数 ζ 黎曼ζ函数：ζ(3 / 2) ≈ 2.6124
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I. 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) 2001年诺贝尔物理学奖
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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I. 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs)
Bose-Einstein 1924.
A finite fraction of bosons occupies the single particle ground state.
Eric A. Cornell Carl E. Wieman JILA group, 铷原子(Rubidium atoms), Science 269, 198 (1995)
第一个玻 色－爱因 斯坦凝聚 (1995年 6月5日)
W(Sodium atoms), PhysRevLett. 75, 3969 (1995)
➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
iTˆt iVˆextnont
iVˆextnont iTˆt
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9/50
III. 算符劈裂算法
不对易的时候利用一个近似处理
算符劈裂：
exp
( Aˆ

Bˆ)t

exp(
Aˆ t 2
)
exp(Bˆt) exp(
Aˆ t 2
)
一个简单的证明：
这里必须满足一个条件： △t要足够小，
虚时演化
如何处理虚数“i”
实时演化
it
t
r, e TˆVˆextnon r, 0
r, e i TˆVˆextnon r, 0
基于Matlab的快速傅里叶变换(FFT) 和龙格-库塔(Runge-Kutta)算法 求解Gross-Pitaevskii(G-P)方程
2020/2/14
理论物理
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➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
使得二阶近似成立
exp
(
Aˆ

Bˆ )t


1

(
Aˆ

Bˆ )t

1 2
(
Aˆ

Bˆ )t

2

O(t)3

exp(
Aˆ t 2
)
exp( Bˆ t )
exp(
Aˆ t 2
)

1
(
Aˆ t 2
)

1 2
(
Aˆ t 2
)2

O(t)3