椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。
本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
一般都是这样定义的：椭圆1b )y y (a )x x (220220=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。
特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积y x 22（20π<α<），22b a 4+，例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。
则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 4211921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116)3y (64x 22=-+。
三、求函数的最值例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
解：点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），则5553arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。
当53arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
P ，π），A （a ，0）。
解得1cos =α（舍去），或222b a b cos -=α。
因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。
可转化为1e e 1122<-<-，解得21e 2>，于是1e 22<<。
故离心率e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛122，。
[截距法]解线性规划问题由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+，则z b 为直线y a b x zb=-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：（1）当b >0时，直线y a b x zb=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。
（2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x zb=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
例1. 设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪⎩⎪10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。
解：如图1作出可行域，目标函数z x y =+2表示直线y x z =-+2在y 轴上的截距，可见当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =⨯+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小z min =0。
图1例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪⎩⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。
解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小值，所以z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313,）处取最大值，z max =⨯-⨯=31321313。
如何避免“分类讨论”“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。
但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。
现采撷几例，供参考。
一、运用最值思想，避免分类讨论例1：奇函数)(x f 是R 上的减函数，若对任意的]10(，∈x ，不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，求实数k 的取值范围。
解：0)2()(2>-+-+x x f kx f ，且)(x f 是R 上的奇函数，减函数，)2()(2+->∴x x f kx f得到22+-<x x kx （1）]10(，∈x ，可得12-+<x x k ，问题转化为只要k 小于12-+xx 的最小值即可。
令x x x h 2)(+=，因为)(x h 在（0，2）上是减函数，故当]10(，∈x 时， 显然有133)1()(min -<∴==k h x h ，，即2<k∴k 的取值范围为（-∞，2）点评：按照常规思路，由（1）式转化为02)1(2>++-x k x 在]10(，∈x 上恒成立问题，可令2)1()(2++-=x k x x g ，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：⎪⎩⎪⎨⎧><+0)0(021g k 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+≤0)21(1210k g k 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥+0)1(121g k 解得1-<k 或11<≤-k 或21<≤k ，从而求得k 的取值范围为（-∞，2）。
这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。
就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。
二、妙用换底公式，避免分类讨论例2：设10<<x ，0>a 且1≠a ，比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小。
分析：本例通常应分1>a 与10<<a 两种情况讨论，但运用换底公式消去a ，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。
解：运用作商比较法，10<<x ，x x ->+∴11，1111>+>-x x|)1(log ||)1(log ||)1(log |1x x x x a a -=+-∴+)1(log 1x x --=+111log 1>-=+xx|)1(log ||)1(log |x x a a +>-∴ 三、变换主元地位，避免分类讨论例3：设不等式0122<+--m x mx 对于满足2||≤m 的一切m 的值都成立，求m 的取值范围。
分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x 的一元二次不等式，实质上是一个关于m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为［-2，2］，求参数的范围。
因此通过参数m 与未知数x 的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。
解：设)21()1()(2x m x m f -+-=，它是以m 为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这条直线当]22[，-∈x 时，线段在y 轴的下方，满足它的为 ⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--<+--0122032222x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<-+->--<231231271271x x x 或 231271+<<+-x 四、借助函数性质，避免分类讨论例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围。
分析：由函数的定义域知]22[]22[)1(，，，-∈-∈-m m ，但是m -1与m 到底是在［-2，0］、［0，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么|)(|)()(x f x f x f ==-”，问题解答就简捷多了。
解：)(x f 是偶函数，|)(|)()(x f x f x f ==-∴，|)(||)1(|)()1(m f m f m f m f <-⇔<-又当]20[，∈x 时，)(x f 单调递减，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->-∴22212|||1|m m m m ，解得211≤≤-m点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，将“曲径”变“通途”。
值得深思。
活跃在空间图形中的轨迹问题在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。
而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。
本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。
1 判断轨迹的类型问题这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。
在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。
例1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）。
A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。
因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D 。
引申1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）。
A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分引申2 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）。
A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分例2 （2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）。