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8.2椭圆的几何性质（5）
——椭圆的参数方程（教案）
齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25
一.目的要求：
1•了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。

2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。

3. 培养理解能力、知识应用能力。

二.教学目标：
1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。

了解它的建立过程，理解它与普通方
程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。

2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参
数方程解决相关问题。

3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性
认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。

三.重点难点：
1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。

2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。

四.教学方法：
引导启发，计算机辅助，讲练结合。

五.教学过程：
（一）引言（意义）
人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。

本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。

（二）预备知识（复习相关）
1. 求曲线方程常用哪几种方法？
答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。

2. 举例：含参数的方程与参数方程
2
“ x = 2t
例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 •直线及圆的参数方程？各系数意义?
（三）推导椭圆参数方程
1. 提出问题（教科书例5）
例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。

点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。

求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。

2. 分析问题
本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。

故采用 间接法 --- 参数法。

引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？
M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？
设/ AOX=:为参数较恰当。

3. 解决问题（板演）
解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角,
取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即
4. 更进一步（板演：化普通方程）
-=cos®
分别将方程组①的两个方程变形，得t a
两式平方后相加,
'=si n®
是参数方程。

J
5
*實
x = a cos®
y =bsin
①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。

消去参数得方程
2
x
2
a
.b
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。

「为参数, 为离心角，常数a b分别是椭圆长半轴和短半轴长。

5.加深理解
x — a cos^P
(1)椭圆参数方程丿—h®为参数)，参数有明显几何意义。

y = bsi n®
离心角「与/ MOX一般不同。

参数方程提供了设点的方法。

(2)椭圆参数方程与普通方程可互相转化。

“设参―消参”。

2 2
(3)椭圆的参数方程也可由笃，每 / (a>b>0)三角换元直接得出,
a b
即令△ - cos「，y=s in「。

双曲线也有类似换元。

a b
(4)可仿P95例3,将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程
(四)参数方程的应用(例题分析)
例1.参数方程普通方程互化(1)丿xtcosT (2) %2+差=1
y=5si n 日16
例2.练习：参数方程普通方程互化(1) x—COst(2) —+ ^ = 1
_y = 10si nt 6 9
例3.在椭圆x2 8y^8上求点P，使P到L : x-y+4=0的距离最小。

分析1:(目标函数法)设P(x,y)为椭圆上任一点，由x2 8y^8得
x = ±v^-8y2，贝U P 至U L 的距离 d =1±、8_8》_八4|
J2
再想办法求最值，但太繁不可取。

分析2:(几何法)把直线L平移到L1与椭圆相切，
此时切点P为所求的点。

即设L1: x-y+m=0.
2
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x
"x — y + m = 0 2
2
x +8y =8
整理得 9y 2-2my+m 2-8=0.
2
2
由厶=4m -4 • 9(m -8)=0 得 m=± 3. 如图可知m=3时最小.可计算平行 线间的距离，
分析3：(参数法)设P ( 2j 2cos^,si n 护)，则有
d 」2 2cos n 4|」3sin C j)41，其中 tav2・.2 42 <2
-■
2
当 时，d 有最小值——，
2 2
2 ,' 2
1
8 1
贝U cos - -sin
， sin = cos
即 P (-,-) 3
3 3 3
方法小结：(1)本题运用参数方程比普通方程简单
(2)当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程
2
例4. P(x,y)为椭圆— y 2 =1上任一点，求2x+y 的最大值。

4
x = 4 coset
例5.设椭圆丿x 42os ®是参数)上一点P ,使0P 与x 轴正向所成
y = 2^3si n^
角/ POX= —，求P 点坐标。

3
分析：本题容易产生错误：认为：，代入椭圆参数方程
3
x=2,y=3，从而 P (2, 3)。

事实上，若注意P 对应参数〉与/ POX 关系，可避免此误< 解：设P ( 4COSG , 2^3si n a )，由P 与x 轴正向所成的角为 工，
3
24
231
诗，此时 P (-
3,1)
y
L i
兀2^3 si n^
tan
3 4 cos : 即tan〉=2. 而sin ： >0,cos： >0,
（四） 教学小结：
1 •坐标法推导出椭圆的参数方程，学习了 a b 、「的几何意义 2•通过学习，完善了对椭圆的认识。

椭圆的两个定义及两种方程都是 等
价的。

3 •参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的。

4 •通过学习增强运用参数解题的意识。

（五） 补充练习
1•点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x-3y-16=0的距离的最大值 为（ ）
“ 12、13 f 1613 小 24、13
28 13
A . B. C.
D.
13
13
13
13
2
2. P 是椭圆—
2
y 2 = 1上任意一点, F 1、F 2是两个焦点，且满足 PF 1 _ PF 2
的点P 有（ )
A . 1个 B.2个
C.3个
D.4个
2 2
3.已知直线y=kx-1与椭圆—厶
=1相切，则
k,a 之间关系式为 ( )
4 a
2 2 2 2
A . a+4k =-1 B. 4k -a=1 C.a-4k =1 D.a+4k =1
2
4. _________________________________________________ 点P （0, 1 ）
至9椭圆 匚+y 2
=1上点最大距离是 ___________________________
2
5 .设a 为大于0的常数，椭圆x 2-2ax+a 2y 2=0的长轴长是短轴长的2倍，则
a 的值为
1 — 1
A . - B. 、2 C. 2 或一 D. 2 2 2
2
2
X 2
2
6 .已知点P 在圆x +（y-4） =1上移动，点Q 在椭圆— y =1上移动， 求|PQ 的最大值
<5
cos 二=- 5
2^5
sin ：= 一
P 点坐标为
45
2
7•求椭圆—y2=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值3
（参考答案：1.C 2.B 3.D 4. 2 5.C 6. 4
提示7 •设点(j3cosT,si),则 d =
兀-—
当sin( ) = -1时，d最小值=2 . 2)
3 Ji 齐
|2si n(—) 6|
3。