个性化教案
学生姓名
年级
科目
数学
授课教师
日期
时间段
课时
2
授课类型
新课/复习课/作业讲解课
教学目标
教学内容
函数专题:含参不等式恒成立问题
个性化学习问题解决
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用
25.（一中学考模拟考压轴题）：已知函数
（1）若f(x)在区间 上是增函数，求b的取值范围；
（2）若存在实数b，对于任意 ， 恒成立，求a的最大值。
课后作业
可附页
班主任收回
审批签字
教学主任课前
审批签字（或盖章）
恒成立问题的基本类型：
类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ,有
1） 对 恒成立 ; 2） 对 恒成立
例1、已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。
例2：若不等式 的解集是R，求m的范围。
类型2：设
（1）当 时， 上恒成立 ，
上恒成立
（2）当 时， 上恒成立
例1、 已不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。
例2．已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。
变式：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。
练习、1设 ，当 时，恒有 ，求实数 的取值范围。
六、利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即： ，则 且 ，不等式的解即为实数 的取值范围。
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例1：已知 ，求实数a的取值范围。
五、分离参数
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 恒成立，只须求出 ，则 ；若 恒成立，只须求出 ，则 ，转化为函数求最值。
在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若 恒成立，只须求出 ，则 ，然后解不等式求出参数 的取值范围；若 恒成立，只须求出 ，则 ，然后解不等式求出参数 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
基本方法
一、确定主元法
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 看成是主元（未知数），而把另一个变量 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
例1：若不等式 对满足 的所有 都成立，求x的范围。
例2．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
练习、1、对于满足 的所有实数 ，求使不等式 恒成立的 的取值范围。
2、对任意的 ，函数 的值总是正数，则x得取值范围是（）
A１<ｘ<３ Ｂ ｘ<１或x>3 C 1<x<2 D x<1或x>2
3. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，若 ， ，有 ，（1）证明 在 上的单调性；（2）若 对所有 恒成立，求 的取值范围。
二、判别式法
对于一元二次函数 有：
（1） 上恒成立 ；
（2） 上恒成立
例2：若不等式 的解集是R，求m的范围。
三、最值法
（1） 对任意x都成立 ；
（2） 对任意x都成立 。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
1、已知函数 ， （1） 当 时，求函数 的最小值；
3若函数 在R上恒成立，求m的取值范围。
4. 已知函数 ，⑴在R上 恒成立，求 的取值范围。
⑵若 时， 恒成立，求 的取值范围。
⑶若 时， 恒成立，求 的取值范围。
八、注意区分恒成立与成立问题
例1.对一切实数x,不等式 恒成立，求实数a的范围。
例2.若不等式 有解，求实数a的范围。
例3.若方程 有解，求实数a的范围
例、设 ，若满足不等式 的一切实数 ，能使不等式 恒成立，求正实数 的取值范围。
七、分类讨论法
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例1、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。
练习.
1若不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围
2若不等式 对任意实数m恒成立，求实数x的取值范围。
（2）若对任意 恒成立，求实数 的范围
练习. 已知不等式 恒成立。求实数 的取值范围。
四：数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
上恒成立
变式1：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。
变式2：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。
类型3：
；
。
类型4：
恒成
注意：
恒成立（在某一区间上），成立（存在一个），恒不成立（在某一区间上）三者的区别：
；
。
；
。
练习、（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的不等式 的解集不是空集，求实数 的取值范围