高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解（1）得⎩⎨⎧<<-<222a a ，解（2）a ＝２∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习 1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。

4.x 取一切实数时，使3472+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

例4 。

已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。

解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立⇔25a 0a 25)2(f 0a 2)1(f >⎩⎨⎧<-=<-=得。

所以a 的取值范围是),25(+∞。

解法2：转化为最值研究4a 1)2a x ()x (f 22-+-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25≤<所以。

2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 232a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。

综上：a 的取值范围是),25(+∞。

注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。

2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数<⇔； )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>⇔∈> 解法3：分离参数]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+>⇐∈<+-。

设x1x )x (g +=，注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。

仿解法1：⇔∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0)2(f 0)1(f ≥⎩⎨⎧≤≤得即),25[:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处25a =也合题。

Oxy x-1例5. 已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。

解法1：数形结合结合)x (f 的草图可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<≥-=∆<-=∆0)1(f 12a 04a 04a 22或或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≥-=∆0)1(f 12a 04a 2得：)2,2(:a 2a 2-<<-的取值范围是即。

解法2：转化为最值研究4a 1)2a x ()x (f 22-+-= 1. 2a 204a 1)x (f ,2a 212a 12min <<->-=≤≤-≤≤-得时即，所以2a 2<<-。

2. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12amin -<->>+=-=-<-<与得时即矛盾。

3. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12amin ><>-==>>与得则时即矛盾。

综上：a 的取值范围是)2,2(-。

解法3：分离参数1. 0x =时，不等式显然成立，即此时a 可为任意实数；2. )0,1[x -∈时，x 1x a 01ax x 2+>⇔>+-。

因为)0,1[x 1x )x (g -+=在上单调递减，所以2)1(g )x (g a max -=-=>；3. ]1,0(x ∈时，x 1x a 01ax x 2+<⇔>+-。

因为x1x )x (g +=在（0，1）上单调递减，所以 2)1(g )x (g a min ==<。

综上：a 的范围是：)2,2(-。

注：本题中由于x 的取值可正可负，不便对参数a 直接分离，故采取了先对x 分类，再分离参数a ，最后对各类中求得a 的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a 的范围求并集是不同的，应引起注意！例6. 已知：1ax x )x (f 2+-=，求使0)x (f >对任意]3,3[a -∈恒成立的x 的取值范围。

解：01ax x 0)x (f 2>+->即习惯上视x 为主元而a 为辅元，但本题中是a 在]3,3[-上任意变化时不等式恒成立，故可将a 视为主元。

变更主元法：设1x a x )a (g 2++⋅-=，则)a (g 的图像为一直线，则]3,3[a ,0)a (g -∈>时恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+-=>++=-01x 3x )3(g 01x 3x )3(g 22即x 的范围是：),253()253,(+∞+⋃---∞ 总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。

若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。

二、 利用函数的最值（或值域） （1）对任意x 都成立（2）对任意x 都成立。

简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。

由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例1．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x x ax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=xax x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212ax x a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又min(0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min 1,0()1,2042,2a a ag x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。

三、变更主元法在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。

一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 用一次函数的性质 对于一次函数有：例题1：已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，原不等式可化为令是关于m 的一次函数。

由题意知解得∴x 的取值范围是关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。