含参不等式专题一、一元二次不等式含参问题含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：(1)按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;(2)按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；(3)按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即2121,x x x x =<；例题1：解x 的不等式：（1）042>++ax x 。

(2) )(0122R a a ax ∈>++例题2：解关于x 的不等式：（1）.01)1(2<++-x a ax （2）)(0)1(2R k x k kx ∈>-+例题3：解不等式（1）)0( 01)1(2≠<++-a x aa x . （2） ）（R a x ax ∈≥++222 二、一元二次不等式恒成立问题1、不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为⎩⎨⎧ a ＞0Δ＜0；ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为R 的条件为⎩⎨⎧a ＜0Δ＜0；02≥++c bx ax 的解集为R 的条件为⎩⎨⎧≤∆>00a ；02≤++c bx ax 的解集为R 的条件为⎩⎨⎧≤∆<0a .2、对于一般恒成立问题：方法一：转化为函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。

方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；（1）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；（2）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则例题1：若)5lg(2b x x y --=的定义域为R,求b 范围。

例题2：已知关于x 的不等式01)2()2(2≥+---x a x a 恒成立，试求a 的取值范围.例题3：已知1)(2+-=ax x x f ，求使不等式0)(<x f 对任意]2,1[∈x 恒成立的a 的取值范围。

【巩固训练】1、解不等式06522>++a ax x2、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x3、解关于x 的不等式：04)1(22>++-x a ax4、不等式x p xp x 212->++ 对),1(+∞∈x 恒成立，求p 的范围。

5、已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

含参不等式专题答案三、一元二次不等式含参问题例题1：解：(1)当()4,4-∈a 即0<∆，解集R ；当4±=a 即Δ＝0，解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或(2)当0a ≥，解集为R ；当1a ≤-，解集为∅；当10a -<<，解集⎛⎝例题2：解：（1）当0<a 时，解集为{11x x x a<>或}；当0=a 时，解集为{1>x x }；当10<<a 时，解集为{ax x 11<<}；当1=a 时，解集为φ；当1>a 时，解集为{11<<x ax }.（2）当0k =，解集是(,0)-∞；当01k <≤，解集是1(,0)(,)kk--∞⋃+∞；当1k >，解集是 1(,)(0,)k k--∞⋃+∞；当0k <，解集是1(,0)kk -。

例题3：解：（1）当1-<a 或10<<a 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|；当1=a 或1-=a 时，可得其解集为φ；当01<<-a 或1>a 时, 解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。

（2）21{|2}2a x x a <-<≤-当时，；1a =当时，∅；22{|2}2a x x a <≤<--当1<时，； 2{|2}a x x =<-当时，；22{|2,}2a x x x a ><-≥-当时，。

四、一元二次不等式恒成立问题例题1：解：)5lg(2b x x y --=Θ的定义域为R,恒成立即052>--b x x ∴一元二次不等式052>--b x x 的解集为R.例题2：解：由题意知：①当02=-a ，即2=a 时，不等式化为01≥，它恒成立，满足条件. ②当02≠-a ，即2≠a 时，原题等价于 综上：例题3：解法1：数形结合结合函数)(x f 的草图可知]2,1[,0)(∈<x x f 时恒成立⇔2525)2(02)1(>⎩⎨⎧<-=<-=a a f a f 得。

所以a 的取值范围是),25(+∞。

解法2：转化为最值研究① 当]2,1[)(,3232在时即x f a a ≤≤上的最大值,25,025)2()(max ><-==a a f x f 得325≤<a 所以。

②当02)1()(]2,1[)(,3232max <-==>>a f x f x f a a 上的最大值在时即，得2>a ，所以3>a 。

综上：a 的取值范围是),25(+∞。

注：1. 此处是对参数a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。

2. I x m x f ∈<,)(恒成立)()(max 为常数m m x f <⇔；)()(,)(min 为常数恒成立m m x f I x m x f >⇔∈>解法3：分离参数]2,1[,1]2,1[,012∈+>⇒∈<+-x x x a x ax x 。

设max )(,1)(x g a xx x g >∴+=，当]2,1[∈x 时25)2()(max ==g x g ，所以a 的取值范围是),25(+∞。

注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)(x g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

2. 本题若将“]2,1[∈x ”改为“)2,1(∈x ”可类似上述三种方法完成。

【巩固训练】1、解：因式分解，得:0)2)(3(>++a x a x ，方程0)2)(3(=++a x a x 的两根为a a 2,3-- ①当a a 23->- 即0<a 时，解集为：{x ︱a x 3-> 或a x 2-<}; ②当a a 23-=-即0=a 时，解集为：{x ︱R x ∈ 且0≠x };③当a a 23-<-即0>a 时，解集为：{x ︱a x 2-> 或a x 3-<}. 综上，①0<a 时，解集为：{x ︱a x 3-> 或a x 2-<};②0=a 时，解集为：{x ︱R x ∈ 且0≠x }; ③0>a 时，解集为：{x ︱a x 2-> 或a x 3-<}.3、解:∵04)1(22>++-x a ax ∴(2)(2)0ax x --> ∴①当0=a 时，2<x ；②0≠a 时，原不等式变为0)2)(2(>--x ax ; ③0<a 时，22<<x a;④01a <≤时，2<x ，或ax 2>; ⑤1>a 时，ax 2<或2>x . 注意：该分类讨论就分类讨论!4、解：原不等式可转化为01)2(2>-+++p x p x 对),1(+∞∈x 恒成立。

①当0)1(4)2(2<--+=∆p p 时，即08<<-p 时，对一切),0(+∞∈x ，0)(>x f 恒成立；②当0)1(4)2(2≥--+=∆p p 时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥≥∆1220)1(0p f ，解得0≥p ； 综上，p 的范围为),8(+∞-∈p 。

（你还有其他方法吗？）5、解： 0)(<x f 即042<--x x ax ，]4,0(∈x Θ不等式可转化为x x x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立，令xx x x g 24)(-=，则min )(x g a <由144)(2-=-=xxx x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。