《应用数学基础》试题一、选择题（10分）6.函数22)(xx x x f -=的定义域是_________.4.已知f (x )是2x 的一个原函数,且f (0)=2ln 1,则f (x )=( ) A.C x +2ln 2(C 是任意常数) B.2ln 2x C.2x ln2+C (C 是任意常数) D.2x ln212.不定积分=-⎰dx xx24_________. 14.设函数⎰=xdt t x f 202cos )(,则f ’(2)=_________.17.求曲线y =e x +x cos3x 在点(0,1)处的切线方程. 18.求极限12sin lim20--→x e xx x x .1．函数f (x )=2+x +ln(3-x )的定义域是( ) A ．[-3,2] B ．[-3,2) C ．[-2,3)D ．[-2,3]24.（1）设)(x y y =由方程1333=+-y xy x 确定，求x y d d 及0d d =x xy 。

7．函数f (x )=6512--+x x x 的间断点是_________. 12．定积分⎰--222d 4x x =_________.13．极限xt t xx ⎰→020d sin lim=_________.14．无穷限反常积分⎰∞-02d e x x =_________.4．对于函数f (x ),下列命题正确的是（ ） A ．若x 0为极值点，则0)(0='x f B ．若0)(0='x f ，则x 0为极值点 C ．若x 0为极值点，则0)(0=''x fD ．若x 0为极值点且)(0x f 存在，则0)(0='x f 8．设函数xey tan =,则='y ．9．曲线y=x 2+1在点（1，2）处的切线方程为 ． 10．函数x x x f +=3)(的单调增加区间为 ． 19．计算定积分⎰-=521dx x x I ．21．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-+=0,sin 0,10,11)(22x x ax x x b x x x f ，试确定常数a 和b 的值，使得)(x f 在x =0处连续． 1.函数f (x )=arcsin ⎪⎭⎫⎝⎛-21x 的定义域为（ ） A.[-1，1]B.[-1，3]C.（-1，1）D.（-1，3）3.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x xx x x f 在x =1处的导数为（ ） A.1 B.2C.3D.不存在6.设⎩⎨⎧≤->=0101)(x x x f ，g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________.7.1arctan lim2+∞→x x x =_______________. 16.求极限xx xx x x sin cos lim--→.19.已知函数f (x )满足⎰+=C x xx f x e d )(，求⎰x x f d )(.25.证明：当x >0时，1+x x +>121. 2．极限=→xxx 62tan lim 0（ ）A ．0B ．31C ．21 D ．34．x =0是函数f (x )=xx +2e 的（ ）A ．零点B ．驻点C ．极值点D ．非极值点6．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.10函数f (x )=2x 3+3x 2-12x +1的单调减少区间为________. 11．函数f (x )=x 3-3x 的极小值为________.13．设f ＇(x )=cos x -2x 且f (0)=2，则f (x )=________. 17．求极限xx x x cos 12e e lim 0--+-→.五、应用题（本大题9分）24．设区域D 由曲线y =e x ，y =x 2与直线x =0，x =1围成. （1）求D 的面积A ；（2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x . 8.极限xx x 20)21(lim -→-=________________.9.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________. 13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(，则f (x )=________________.19.计算定积分⎰π202d 2sin x x .20.求不定积分⎰++211x x d x .21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值.7.极限0lim →x xx 331⎪⎭⎫ ⎝⎛-=___________.8.当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a =___________.9.极限∞→x lim 1sin 2++x xx =___________.11.设y =x sin x ，则y ''=___________. 12.曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 17.求极限0lim→x )1ln(1sin e 2x x x +--.18.求不定积分⎰.d ln x xx22.计算定积分221021xx -⎰d x.24.设曲线xy =1与直线y =2，x =3所围成的平面区域为D （如图所示）.求 （1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.4.⎰-=+116dx x sin 1xcos x （ ）A.2πB.πC.1D.07.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n 1n lim ___________. 8.=→x t cos x lim 0x ___________.9.x 1x 1lim0x ∆-∆+→∆= _________13.⎰+∞=-22dx )1x (1 ___________.16．求极限30x xxsin x lim-→. 2．当x →+∞时，下列变量中为无穷大量的是（ ）A ．x 1B ．ln(1+x)C ．sinxD ．e -x4．设f(x)可微，则d(e f(x))=（ ） A ．f’(x)dx B ．e f(x)dx C ．f’(x)e f(x) dxD ．f’(x)de f(x) 7．设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x 2，则极限)x (f lim 0x →________.9．不定积分⎰=dx x1cosx12________. 10．dxd⎰x20)dt 2tsin (=________. 11．设由参数方程x=dxdy ),x (y y t 1y ,2t 2则确定的函数为=-==________.16．求极限5x 4x 1lim5x ---→.17.设y='y ,)3x (x 1x 3求--.18.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y(x)的导数dxdy . 24．从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，做成一个无盖的盒子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25．求由曲线y=x 3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 3．当x →0时，x ln （x +1）是（ ） A ．与x sin x 等阶的无穷小 B ．与x sin x 同阶非等价的无穷小 C ．比x sin x 高阶的无穷小D ．比x sin x 低阶的无穷小4．下列反常积分中收敛的是（ ） A ．⎰+∞1321dx x B ．⎰+∞dx e xC ．⎰+∞edx xx ln 1D ．⎰+∞141dx x9．设xxy ln =，则dy =______________. 17．设22cos ln 1e x x y +++=，求y '.18．设由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==,1,22t y t x 确定的函数为)(x y y =，求.22dx y d19．求不定积分⎰++.)2)(1(1dx x x21．计算定积分⎰-1.dx xex25．证明⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m .1.下列函数中是偶函数的为（ ） A.y =x 4+x 5 B.y =x x 5 C.y =e x -e -xD.y =21sin x xx + 2.设函数y = f(x)的定义域为[]1,0,则f (x+2)的定义域为（ ） A.[]1,2-- B.[]1,2- C.[]1,1-D.[]1,03.=++∞→1)11(lim x x x（ ） A.1 B.e C.e +1D.∞4.下列反常积分中发散的是（ ） A.⎰+∞e dx x - B.dx x 211⎰+∞C.dx xx eln 1⎰+∞D.dx x211+⎰+∞9.设y =lnsinx,则=''y ___________.10.曲线y =e 2x 在x = 0处的切线斜率是___________.11.若⎰+=,)()(C x F dx x f 则=--⎰dx e f e x x )(_______________. 12.设,1)(03⎰+=Φxtdt x 则=Φ')(x ___________.13.曲线y =e 2x -的拐点为___________.17.设方程xy-e x +e y =0确定了隐函数y = y(x),求)0(y '. 18.函数f (x ) =⎩⎨⎧<+≥1,12,1,3x x x x 在x =1处是否连续?是否可导?21.求不定积分dx e e x x⎰+12.22.计算定积分⎰-++02222x x dx.25.设)(x f ''是连续函数,证明⎰+-'=''.)()()(C x f x f x dx x f x1．下列函数中是奇函数的为（ ） A ．y =ln(x 2+1)-sec xB ．y =3x +1C ．y =lnxx+-11 D ．y =⎩⎨⎧≥+<-.0,1,0,1x x x x8．设)(x f 是可导函数，y =)(x f ,则dxdy=___________. 9．设)(x f =ln(1+x ),则='')0(f _________.10．设由参数方程x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )(其中a >0为常数)确定的函数为),(x y y =则dxdy =___________.13．不定积分⎰=dx xx2cos12_________. 16．求极限)112(lim 22n +---+∞→n n n n .17．设y =+2xe x ln3,求y '.18．求由方程x -y +21sin y =0所确定的隐函数y =y (x )的一阶导数dxdy . 21．求不定积分⎰xdx ln .22．计算极限.cos 1)ln(lim 0xdt e t t x x -+⎰+→2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ) A.2x -1 (x →0) B.xxsin (x →0) C.2)1(1-x (x →1) D.2-x -1(x →1)4.下列反常积分收敛的是( ) A.⎰+∞02dx xB.⎰+∞dx e xC.⎰+∞xdx D.⎰+∞+0211dx x12.dx xx ⎰-+1122=__________.19．设方程y 2-2xy +9=0确定了隐函数y =y (x )，求.dxdy 20．计算定积分⎰+212.1dx xx21．求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-t t ey ex 23，所确定的函数y =y (x )的一阶导数dx dy 及二阶导数.22dx y d22．讨论函数y =x 2-6x +8的单调性.2.=→x x x 1sin lim 0（ ） A.0 B.1C.∞D.不存在也不是∞13．设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan ),1ln(2，则dx dy=_________.14．若无穷限反常积分⎰+∞=+0211dx xk ，则常数k =_________.25．求由直线y =x 与抛物线y 2=x 所围成的平面图形的面积. 6．xx x πsinlim ∞→=________. 11．已知⎩⎨⎧-=-=),cos 1(7),sin (7t y t t x 则dxdy=________.12．如果⎰+=C x x dx x f ln )(，则f (x )________. 14．无穷限反常积分⎰+∞=edx xx 2ln 1________. 22．计算定积分⎰-π53.sin sin xdx x14.=⎰→xdt t xx 20cos 0lim_______.17.求曲线⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin 在6π=t 处相应的点处的切线方程和法线方程.20.已知⎪⎩⎪⎨⎧π≤<ππ-π≤≤-=,2,2,2,sin )(x x x x x x f 求⎰ππ-2.)(dx x f25.求由曲线xy =1与直线y=2,x =3所围成的平面图形的面积. 2.设,)(,2)(2x x g x f x ==则g [f (x )]=( ) A.22x B.xx 2 C.x 4D.x x 223.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ) A.12-x )0(→x B.xxsin )0(→x C.2)1(1-x )1(→xD.12--x )1(→x4.设曲线12-+=x x y 在点M 的切线的斜率为3，则点M 的坐标为( ) A.（0,1）B.(1,1)1．设函数y =f (x )的定义域为[0, 1]，则f (x +2)的定义域为（ ） A ．[0, 1] B ．[-1, 1] C ．[-2, 1]D ．[-2, -1]2．当x →0时，下面无穷小量中与x 等价的无穷小量为（ ） A ．3x B ．sin x C ．ln (1+x 2)D ．x +sin x6．=++∞→32)11(lim x x x_________.21．计算定积分⎰+41d 11x x.22．设y =2ex -cos3x , 求.y '2.若2)1()1(xx xf +=,则f (x )=（ ） A.2)1(+x x B.2)1(xx + C.(1+x )2D.(1-x )211.设1)(0='x f ，则=-+→hx f h x f h )()(lim 000_______________.22.计算定积分.cos 0xdx x ⎰π25.试证当x >0时，x >ln(1+x ).。