――――――阿波罗尼斯问题详细解答1序号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 附录目录内容阿波罗尼斯是一个什么样的人？什么是阿波罗尼斯问题？阿波罗尼斯问题有多少个子问题？怎样作一条线段的垂直平分线？怎样过线段上一点作该线段的垂线？怎样过圆上一点作该圆的切线？怎样作两个圆的公切线？什么叫反演变换？怎样作反演圆内一点的反演点？怎样作反演圆外一点的反演点？怎样作一条直线的反演图形？怎样作一个圆的反演图形？怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？怎样作线段 a、b 的比例中项 c？什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？什么叫相（位）似中心？怎样作出相（位）似中心？什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？什么叫两圆周的共同幂？什么叫相似轴？怎样作出相似轴？阿波罗尼斯问题之一：点点点阿波罗尼斯问题之二：线线线阿波罗尼斯问题之三：点线线阿波罗尼斯问题之四：点点线阿波罗尼斯问题之五：点点圆阿波罗尼斯问题之六：点圆圆阿波罗尼斯问题之七：点线圆阿波罗尼斯问题之八：线圆圆阿波罗尼斯问题之九：线线圆阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆米勒问题和米勒定理页码 03 03 03 03 04 04 05 06 06 06 07 08 10 10 10 11 11 13 13 14 16 17 17 18 19 22 26 31 35 41 47 55 692第 01 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 阿波罗尼斯，Apollonius，有时也翻译为“阿波罗尼奥斯”，古希腊大数学家，生活在公 元前 260 年到公元前 190 年，著有《论相切》和《圆锥曲线》。

中国的学生知道这个人往往 是从阿波罗尼奥斯圆开始的。

第 02 个问题： 什么是阿波罗尼斯问题？ 作一个圆，使得它与三个已知圆相切。

因为是圆与圆相碰触，所以人们把它形象地称为 “圆之吻”。

第 03 个问题： 阿波罗尼斯问题有多少个子问题？ 由于点和直线可以分别看作圆的极限状态：半径为无穷小的圆和半径为无穷大的圆，所 以它一共有 10 个子问题，按构成元素（点、线、圆）的不同，我们将它分成三类： Ⅰ、三元相同的一类：点点点、线线线、圆圆圆； Ⅱ、一异两同的一类：①点线线，点圆圆；②线点点，线圆圆； ③圆点点，圆线线； Ⅲ、三元各异：点线圆。

在作图时，要求所作出的圆与已知的圆、线、点都相切，只是由于点是退化了的圆或直 线，所以看上去就是所作圆经过该点，或者说该点在所作圆上。

说明： ①也有人只把“圆圆圆”这种情况叫作阿波罗尼斯问题。

②我们只讨论退化的情况，不讨论重合的情况(圆与圆重合、线与线重合、点与点重合)。

③本文所提到的“圆”都是指“圆周”，不指圆面。

第 04 个问题： 怎样作一条线段的垂直平分线？ 如下图：3第 05 个问题： 怎样过线段上一点作该线段的垂线？ 如下图：先作射线 AB，再以点 B 为圆心、BA 为半径作圆 B，圆 B 交射线 AB 于点 A`， 则问题转化为作线段 AA`的垂直平分线。

那么，我们可以按 01 的作法，作出这条垂直平分线；相类似地，我们可以作出过点 A 并且垂直于线段 AB 的直线。

第 06 个问题： 怎样过圆上一点作该圆的切线？ 如下图：连接圆心 O 和圆上该点 A，于是问题转化为：过点 A 作线段 OA 的垂线。

4第 07 个问题： 怎样作两个圆的公切线？①两圆外公切线的具体作法：如上图 ① 作圆 M，其半径为两圆圆心所确定的线段 O1O2 的一半，或者这么说：以线段 O1O2 为直径作一个圆。

② 作外公切线时，以大圆的圆心为圆心、R－r 为半径作圆 O； ③ 设圆 O 与圆 M 的交点为 D、E，连接 DO2、EO2； ④ 设射线 O1D 和圆 O1 交于点 G，以 DG、DO2 为两条边作平行四边形 GDO2F，则 直线 GF 为两圆的一条外公切线， ⑤ 同理，可作出另一条外公切线 HI说明： 这里实际上解决了另一个问题：如何过圆 O1 外一点 O2 作圆 O1 的切线 O2D、O2E。

②两圆内公切线的具体作法：如下图 ⑥ 作圆 M，其半径为两圆圆心所确定的线段的一半， ⑦ 作内公切线时，以大圆的圆心为圆心、R＋r 为半径作圆 O； ⑧ 设圆 O 与圆 M 的交点为 D、E，连接 DO2、EO2； ⑨ 设射线 O1D 和圆 O1 交于点 F，以 DF、DO2 为两条边作平行四边形 FDO2H，则 直线 FH 为两圆的一条内公切线， ⑩ 同理，可作出另一条内公切线 GI5③两圆内切时，其外公切线可以仿照作出，不赘述。

说明：①两圆内含（但不内切）时，没有公切线； ②两圆内切时，只有一条外公切线； ③两圆相交时，只有两条外公切线。

④两圆外切时，有一条内公切线，两条外公切线，共 3 条； ⑤两圆相离时，有外公切线两条、内公切线两条，共 4 条。

第 08 个问题： 什么叫反演变换？ 中文名称：反演；英文名称：inversion 二维平面上的反演以一个特定的反演圆为基础：圆心 O 为反演中心，圆半径为常数 k,把点 P 反演为点 P'就是使得 OP×OP' = k2 (即 k 为 OP 和 OP'的几何平均). 如点 P 在圆上，反演后仍是它自身。

第 09 个问题： 怎样作反演圆内一点的反演点？ 如点 P 在圆内:连结 OP,过点 P 作直线垂直于 OP,直线与圆的交点处的切线的交点就是点 P'. 第 10 个问题： 怎样作反演圆外一点的反演点？ 如点 P 在圆外可这样作:过点 P 作圆的切线(两条),两个切点相连与 OP 连线交点就6是点 P'. 另法：以点 P 为圆心、PO 为半径作圆 P，设圆 P 交圆 O 于 A、B 两点，分别以 A、B 两点，以 OA、OB 为半径作圆，圆 A 和圆 B 交于点 O 和另一点，该点就是 P`。

图形省略了，请您自己画图体验。

第 11 个问题： 怎样作一条直线的反演图形？ (1)通过反演极的直线：经过反演变换后与原直线生命，但直线上只有两个点（直线与反演圆的交占满）不动，其它的点都变动了位置。

(2)不通过反演极的直线：分两类情况 ①直线与反演圆相离： 过反演极 O 作直线 L 的垂线，设垂足为 A，作出点 A 关于圆周 O 的反点 A`,则直线 L的反形为一个圆，一个以线段 OA`为直径的圆；具体见下图：②直线与反演圆相切：以反演极 O 和切点 A 为直径的一个圆7③直线与反演圆相交：过反演极 O 和两个交点 A、B 的一个圆第 12 个问题： 怎样作一个圆的反演图形？ ①通过反演极的圆周：它的反形是一条直线，如下图：作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、O 两点；作 出点 A 的反演点 A`；过点 A`作一条直线 L 垂直于直线 OI，直线 L 就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。

②不通过反演极并且与反演圆相离的圆周：其反形为在圆 O 内的一个圆，如下图：8作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、B 两点；作 出点 A 的反演点 A`，作出点 B 的反演点 B`；以线段 A`B`为直径作圆 I`，则圆 I`就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。

③不通过反演极并且与反演圆相切的圆周：其反形为圆 O 内的一个圆，如下图：9作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、B 两点；作 出点 A 的反演点 A`，点 A`和点 A 重合；作出点 B 的反演点 B`；以线段 A`B`为直径作圆 I`， 则圆 I`就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。

④不通过反演极并且与反演圆相交的圆周：其反形为与圆 O 相交的一个圆，作法类似 于前：⑤不通过反演极在反演圆内的圆周：其反形为在圆 O 外的一个圆，作法类似于前，其 图类似②图。

第 13 个问题： 怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？ 在直线 L 上取一点 O，以它为圆心任作一圆，这样以圆 O 为反演圆的反演变换将直线 L 变成自身。

第 14 个问题： 怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？ 在圆 O 上任取一点 A，作直线 AB 垂直 OA，在 AB 上任取一点 P 作圆心，PA 为半径 作圆，则以圆 P 为反演圆的变换将圆 O 变成自身。

第 15 个问题： 怎样作线段 a、b 的比例中项 c？10第16个问题个问题：： 什么叫圆的幂什么叫圆的幂？？怎样作出圆的幂怎样作出圆的幂？？所谓圆的幂，具体是指一个点相对于一个圆的幂。

设Γ是平面上一个圆心为O 、半径为r 的圆，对于平面上任一点P ，令ρ（P ）=PO 2－r 2，则称ρ（P ）为点P 对于圆Γ的幂。

① 若点P 在圆O 之外，则过点P 作圆O 的切线，记切点为Q ，则PQ 2=ρ（P ）=PO 2－r 2,如下图：②若点P 在圆O 之上，ρ（P ）= PO 2－r 2 ＝0，依然是切线段PQ 的平方(正因为是切线段长度的平方，所以叫幂)，只不过线段PQ 已经退化为一个点，线段长变为零。

③若点P 在圆O 之内，则过点P 作圆O 的弦AB ，使得OP 垂直于弦AB ，则AP 2= BP 2=ρ（P ）= r 2－PO 2,其大小是垂直于OP 的弦的一半的平方，如下图：其中，垂直于OP 的弦AB 被称作过点P 的最小弦。

第17个问题个问题：： 什么是圆的根轴什么是圆的根轴（（或等幂轴或等幂轴））？怎样作出圆的根轴怎样作出圆的根轴？？所谓圆的根轴就是到两定圆的幂相等的动点的轨迹，可以证明该轨迹为一条直线，所以称之为两定圆的根轴或等幂轴。

请注意，根轴是与两个圆相关联的概念，一个圆无所谓根轴。

怎样作出圆的根轴怎样作出圆的根轴？？①若两圆相离，则我们可以作出它的四条公切线，这四条公切线的中点到这两个圆的幂都相等，又已知根轴是一条直线，所以取其中两个的中点就可以作出这条根轴。

又由于根轴总是垂直于两圆的连心线，所以只要作出一条外公切线即可作出两圆的根轴如下图：②若两圆相外切，则我们可以作出它的三条公切线，内公切线和外公切线的交点（即两外公切线段的中点）就确定了这两个圆的根轴。

③若两圆相交，则两个交点所确定的直线就是这两个圆的根轴。

④若两圆相内切，则唯一的这条外公切线就是这两个圆的根轴。