空间动作, 与无限图形相对应, 实施操作时图形每点都动。
Tm,n, p ma nb pc (m, n, p 0,1,2)
(2) 螺旋旋转操作与螺旋轴（nm）
这是一种复合动作, 先绕轴旋转 =2/n, 再沿着轴向进行 平移(T), 此时图形复原。
平移量: t = ma /n a 为与结构相应的平移素向量, 即在不旋转情况下平移此 量也可使复原。
晶胞为一平行六面体实体，晶胞在空间的堆砌就形成晶体 CsCl
2. 晶胞的两要素
(1) 晶胞大小和形状：用晶胞参数表示 (2) 晶胞内各原子位置：用原子的分数坐标表示 点阵的三个素向量为晶体的 坐标轴x, y, z—晶轴 晶胞参数： a、b、c；、、
§7.2.4 晶面与晶面指标
在空间点阵中选择某 一点阵点作为坐标原 点，选择三个互不平 行的单位矢量 a, b, c, 则点阵中每一点阵点、 每一组直线点阵(晶 棱)、每一组平面点阵 ( 晶 面 ) 都可用一定的 数字指标来标记。
正方形
矩形
六方
平行四边形
5种形式
b a
b a
a
b
b a
b a
为何无正方带心格子？ 为何无六方带心格子？ 为何无一般带心格子？
正当空间格子有7种形状，14种型式(称为14种布拉维格子) 7种形状对应7个晶系：
立方，三方，六方，四方，正交，单斜，三斜
立方布拉维格子
晶系:立方(c) 晶胞参数： a=b=c; == =90° 简单立方 (cP) 立方体心(cI) 立方面心(cF)
Bragg 方 程
n=1,2,3…
衍射级数
Bragg将晶面指标为(h*k*l*)的晶面间距d h*k*l*与衍射方
向联系起来，由此可求出d h*k*l*从而确定晶胞参数。
例如： 立方晶系
dhk l
a h2 k 2 l 2
1 h* 2 k 2 l 2 ( ) ( ) ( ) a b c
但三个圆锥面不一定保证有共交的交线。这可以从Laue方 程有无确定解来理解。
a(cos cos 0 ) h b(cos cos 0 ) k c(cos cos 0 ) l
其中a, b, c, 是定值，入射方向确定的话， 0, 0 , γ0是定 值，对于某一衍射方向， h、k、l也为定值，则三个方程 确定三个变量, , γ 应该可以。
四方布拉维格子
晶系:四方(t)
晶胞参数： a=bc; == =90°
四方简单(tP)
四方体心(tI)
六方布拉维格子
晶系:六方(h) 晶胞参数： a=bc;==90°； =120°
三方布拉维格子
晶系:三方(r) 晶胞参数： a=b=c; == <120° 90°
正交布拉维格子
§7.2.7 230个空间群
晶体的微观对称性与宏观对称性的根本差别是在宏观对称 操作的基础上增加平移操作, 从而使微观对称性不再具有 点动作性质, 点群也就扩展为空间群。 将 14 种空间点阵型式与所有的对称元素( n, , nm, m, i, a, b, c, n, d ) 按照一定的规则进行组合, 总共可以得到也只能得 到 230 种组合形式, 代表230种微观对称类型---230 个空间 群。空间群的国际记号, 例如:
h*2 hk k 2 l 2 4( ) 2 2 3a c
§ 7.2.5 晶系
特征对称元素：
晶体划入某晶系时所必须具备的对称元素 即划分晶系的依据是特征对称元素，而不是晶胞参数。 晶胞参数是必要条件, 但不是充分条件。
晶系的划分和选晶轴的方法
§7.2.6 14种空间点阵型式
7 个晶系（即 7 种平行六面体）对应的晶胞可以是素单 位 , 也可以是复单位。即除了平行六面体顶点上有阵点
(h*k* l*)称为晶面指标
C： OA=2 a ,OB=3 截数为： r=2, s=3, t=5
z
b
,OC=5 c
c b O a
A
B
y
1 1 1 倒易截数比为： : : 2 3 5
化为互质的整数比为：15:10:6
x
晶面指标为(15,10,6)
4. 晶面间距 dh*k*l*
直线点阵上衍射圆锥的形成
Laue 方程组：
对于空间点阵，应同时满足以下三式，
h、k、l为整数(但并不都是互质整数)－－衍射指标。 Laue 方程把衍射方向和晶胞参数联系在一起。
Laue方程组决定了衍射方向的分立性，因为空间点阵的
衍射方向是以三个互不平行的直线点阵为轴的的三组圆
锥面的共交线，所以只有某些特定方向上才会出现衍射。
但是, , γ 不是完全独立的变量，它们之间存在一定的函 数关系。 例如，对立方晶系和正交晶系，有：
cos 2 cos 2 cos 2 1
三个变量，四个方程（四个限制条件），不一定有满足条 件的解。要想得到解，即得到衍射图，必须增加变量。有 两种途径可以解决： ① 晶体不动，改变，即用白色X-射线。Laue摄谱法就是 基于此原理。 ② 用单色X-射线，改变0, 0 , γ0中的一个或两个。回转 晶体法（德拜法）就是基于此原理。

晶体：微粒有规律地重复排列 晶体结构=点阵+结构基元
点阵=点阵点+平移向量
格子
正当格子
正当晶胞
晶体和点阵的对应关系： 晶体 结构基元 晶棱 晶面 晶胞
空间点阵
阵点
直线点阵
平面点阵
格子
§7.2 晶体结构的对称性
§7.2.1 晶体的对称元素和对称操作
1. 宏观对称元素和对称操作 晶体的理想外形在宏观表现出来的对称性 对称元素 旋转轴 (n或n) 反映面 (m) 对称中心 (i) 反轴 ( n ) 对称操作 旋转 L() =2/n 反映 M 反演 I 旋转反演L()I
外, 给面心、体心、低心加阵点构成复单位。但并不是
7×4=28 种，而是只有 14 种。有两方面的原因使之减少 了 14 种。 其一： 有些晶系的特征对称元素不允许加点阵点例如: 例如：立方晶系不可能存在底心点阵, 否则, 与4×3 的 要求不符。
其二：有些晶系，在面心或底心加点阵点后可以划分为体 积更小的对称性不变的平行六面体单位，即可划分出体积 更小的正当单位。 例如：四方底心可划分出体积更小的简单四方 四方面心可划分出体积更小的四方体心
正交晶系
dh*k*l*
dh*k*l*
六方晶系
1 h*2 hk k 2 l 2 4( ) 2 2 3a c
Bragg 方程表明，晶面指标为 (h*k*l*) 的晶面只对某些
角的入射线产生反射。可以证明，对于这些晶面，只有
衍射方向hkl和晶面指标(h*k*l*)满足： h k l=nh* nk* nl*
不断被加速或被减速，而且振动频度与入射X射线的相同。 这个电子本身又变成了一个新电磁波源，向四周辐射电 磁波，形成X射线波。这些散射波之间符合振动方向相同， 频率相同，位相差恒定的光的干涉条件， 可以发生干涉 作用，故称之为相干散射。
次生X射线(球面波)的相互加强形成衍射
§7.4.2 衍射方向与晶胞参数
1. Laue方程 劳埃(Laue)方程是联系衍射方向与晶胞大小、形状的 方程。它的出发点是将晶体的空间点阵分解成三组 互不平行的直线点阵, 考察直线点阵上的衍射条件。 每一组直线点阵上得到一个方程，整个空间点阵上 就有三个形式相似的方程，构成一个方程组。
Laue方程的推导
a (cos －cos0 )= h h为整数 即在入射角为0 时，在方向产 生衍射。
在晶体宏观对称性中只有8种独立的对称元素
对称元素 对称中心 镜面 一重旋转轴 二重旋转轴 三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴 四重反轴 符号 i m 1 2 3 4 6
4
只有4重反轴 是独立的
晶体的8种宏观独立对称元素决定了 晶体的宏观对称操作
晶体的宏观对称操作构成的点群数目是有 限，共有32个，称为32个晶体学点群 32 个点群的意义在于不管晶体形状及多样性如何复杂 , 但它的宏观对称性必属于 32个点群中的某一个 , 绝不会 找不到它的对称类型。32个点群是研究晶体宏观对称性 的依据。
21 21 21 n m a 21 5 C 2h P c 空间群属单斜晶系
16 D2 h p
7个晶系
14种空间点阵型式 32个点群(宏观对称性) 230个空间群(微观对称性)
§7.4 晶体的X射线衍射
当X射线与原子中束缚较紧的内层电子相撞时，光子把能
量全部转给电子，电子将在其平衡位置发生受迫振动，
§7.2.2 晶体的微观对称性
1. 晶体的微观对称元素与空间对称操作
晶体的微观对称性就是晶体内部点阵结构的对称性。空 间点阵是无限图形, 对应的操作为空间操作。 晶体 宏观对称性是微观对称性的外在表现。所以宏观对 称元素自然是微观对称元素。除此之外, 还存在三类空间 操作。
(1) 平移操作(T)和点阵（t）
晶轴—点阵的三个素向量为晶体的坐标轴x, y, z 设某晶面与3个晶轴相交，截长分别为：
z
C
ra, sb , tc
r, s, t 称为晶面在晶轴上的截数。
1 1 1 , , r s t
称为倒易截数 A
c b O a
x
B
y
将倒易截数之比化为一组 互质的整数比：
1 1 1 ：： h *：k *：l * r s t
晶系:正交(o) 晶胞参数：a b c; == = 90°
简单正交 (oP) 正交体心(oI) 正交面心(oF) 正交底心(oC)
单斜布拉维格子
晶系:单斜(m) 晶胞参数： a bc; = =90
简单单斜 (mP)
单斜底心(mC)