半径决定圆的大小
观点与启示
GUANDIANYUQISHI
• 图形的分与合不只是图形的拼与拆？ • 图形的分解，并不仅仅是图形外形的简单分隔， 而是相关数学知识和技能的应用。 • 图形的组合中，注重我国传统益智素材七巧板的 活动，也吸收西方的益智素材几连块的应用。 • 作业不一定是当天完成的？时间长短不是问题， 好题的起点低，人人可参与；开放度大，不同的 人不同要求，做全对人人都有挑战。
图形的分解与组合
图形的分解
• 有一块长4米，宽3米的园地，现要在园地 上辟出一个花圃，使花圃的面积是原园地 面 积的一 半 ，问 如何设 计 ？（ 日本开放 题）：
图形的分解：
图形的组合：
图形的组合：
图形的组合：
七巧板拼平行四边形
图形的组合：七巧板拼正方形
生活中的七巧板
数学老师家摆上 一个，是否更能 体现自己的学科 气质？
用七巧板拼寓言《自相矛盾》
图形的组合
• • 二连方 三连方
源自50年代美国多连块
图形的组合
•从三连方到四连方是怎么构造成的？
• • •
五连方； 六连方。 分别有 几个呢？
五连方
12种，大都能用 字母表述形状。
六连方
35个不同的 六连方，能 拼成正方体 的有11种。
•图形的组合
圆心决定圆的位置
三角形的外角和
六边形的外角和
• 图形的推理：让不完全归纳更完全； • 五角星中的黄金比
欣赏：奇妙的五点共圆
推理的严谨：车轮为什么是圆的？
•图形的组合与推理：
阴影部分的面积怎样计算？
•图形的组合与推理：
阴影部分的面积怎样计算？
•图形的组合与推理：
绿色和蓝色的面积哪个大？
图形的面积推理：
形成空间观念需要基本内容与专项材料
（1）图形的认识； （1）图形的转换； （2）图形的测量： （2）图形的分解； （3）图形的组合； （3）图形的运动变换； （4）图形的方位： （4）图形的辨认； （5）图形的概括； （6）图形的推理； （7）图形计数； （8）多连块拼图； （9）找隐蔽图形； （张天孝，2012） (10)图形的展开和折叠； 原来8项，单列2项
案例：分类计数
• 将边长为3和4的两个正方体的表面刷上红色的漆，再将 它分割成边长为1的小正方体。探求满足下面条件的小正 方体的数量规律。 • （1）边长为3的正方体，三面、两面、一面有红颜色的 小正方体各有多少个？ • （2）边长为4的正方体呢？边长分别改为5和6，结果如 何？你能发现什么规律？
解读新课标核心词：空间观念
ZENYANGFAZHANXUESHENGDEKONGJIANGUANNIAN
唐彩斌
tangcaibin@
课程改革近十年，您是否越来越觉得……
1
2
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宏观指导思 想是正确的
中观教学理 念是认同的
微观教学操 作是困难的
数学教学 A重点教学 机械技能
C思维有序训练 E教师告诉 怎么做 B重点教学 灵活思维 D思维需大量训练
观点与启示
GUANDIANYUQISHI
只有提供越丰富的材料，才便于学生概括。 妥善处理特殊的情况，如果连特殊的情况也满 足一般的规律，学生对发现的规律会更坚定。Biblioteka •《三角形的面积》•
• • •
三角形中的直角三角形、钝角三角形、锐 角三角形，哪一个更一般？ 三角形的高另一意义：任何一个三角形一 作高，就能把它转化成2个直角三角形； 学生怎么会想到用两个完全一样的三角形 去拼出一个平行四边形？ 一个三角形是否能够转化？
图形计数
图形计数的序列
数点： 数线段： 数角； 数图形： 数方块
数线段和角
• 下图中有多少条线段？
数线段和角
• 平面上的 5 个点，每 3 点都不在同一条直线上， 各点连接，一共有多少条线段？
数图形
• 下图中有多少个正方形和三角形？
数图形 • 下面这个图形中有多少种图形，每种 图形各有多少个？（1982年，张德琇）
空间观念综述
性别差异国内外研究结果不同。 大多数西方研究成果表明：男性的空 间观念有优势，这种优势随着年龄的 增长而增加。 男生的优势随着年龄的增长缩小并消 失。（许燕、张厚粲，2000）
• 空间观念的3个水平层次（刘晓玫）：
直观想象与复杂分析阶段
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直观想象与简单分析抽象阶段 （完全）直观想象阶段
三角形面积公式
S＝ （1/2h）a S＝（1/2a）h S＝1/2（ah）
• 图形的推理：让不完全归纳更完全； • 三角形的内角和
三角形的内角和是180度？
• • • • • • 三角形的内角和是180， 四边形呢？ 为什么只学内角不学外角？ 三角形的外角和是360， 四边形呢？ 一般的多边形呢？
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数立方体的个数 下图的长方体是由1立方厘米的小正方体 摆成的，它的体积是多少立方厘米？
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数立方体的个数
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PISA样题 苏森要搭建左图所示的几何体，需要多少 个立方块？那么搭建右图所示的几何体呢？
利用小立方块搭建右图所示的几何体，如果允 许内部有空洞，而外表上看起来还是这样的大 立方体，至少需要多少个小立方体？.
空间观念综述
空间观念包括三个方面： (1)实物几何化；(2)由基本图形寻找出基本 元素及其关系；(3)由比较复杂的图形分解 出简单的、基本的图形，能根据条件做出立 体模型或画出图形。 空间观念不仅是“观念”，还是数学课程里 新的内容、题材和呈现方式。 （李玉龙、朱维宗）
空间观念综述
对于学生来说，发展牢固的空间观念， 掌握几何的概念和语言，不仅可以较 好地为学习数和度量概念做准备，还 可以促进其他数学课程的进一步学习。 （刘晓玫）
一条线段长5厘米，以每秒10厘米的速度 向右平移，3秒钟后，线段扫过的部分的 面积是多少？
二维和三维之间的转换
碾路机；
游泳池；
二维和三维之间的转换
四棵树，怎样栽，使得任两棵树之间距 离相等?
观点与启示
GUANDIANYUQISHI
• 学习开始的地方不一定在课堂？重视日常 生活中图形与图形之间的转换，这些基本 的活动经验积累为学校课堂数学学习是奠 定基础。 • 转换并不一定是在一个维度上？一维、二 维和三维之间的相互转换，恰是发展学生 空间观念的有益举措。 • 您是否想起了相关的案例？
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空间观念
• • • • • 根据物体特征抽象出几何图形， 根据几何图形想象出所描述的实际物体； 想象物体的方位和相互之间的位置关系； 描述图形的运动和变化； 依据语言的描述画出图形等。
备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。
观点与启示
GUANDIANYUQISHI
• 对于概念的界定，一方面我们尽可能多地知晓已 有的研究与结论，同时我们也不要拘泥于之前的 某一项研究的结论。更不必试图引用所谓权威或 官方的文字来佐证自己的认识。实践才是检验理 念的唯一标准。 • 不知您是否也这样：我们通常没有过多的精力来 搞清楚是什么空间观念？而是很想知道到底怎么 做才能发展学生的空间观念？
观点与启示
GUANDIANYUQISHI
操作不一定用手？ 一个一个数小立方块，那只是一个数数的问 题，针对不完整的立体图形，要算出总数，就 需要考量学生的空间想象能力。 在数的过程中，除了实际的数，更有头脑中的 表象地数，切勿一味实物操作； 有时远距离的操作比近距离操作更有挑战，因 为需要学生更为精准地数学表达，这也是一种 能力。
能力培养：不为 考试，赢在考试。
图形之间的转换
一维、二维和三维之间的转换。
一维和二维之间的转换
• 在下列图形中，哪两条线段是相互平行的？哪两条 线段是相互垂直的？
四边形的对边关系
A
B
C
D
二维和三维之间的转换
• 在下列图形中，哪两条线段是相互平行的？哪两条 线段是相互垂直的？
七巧板
长方体
一维和二维之间的转换
数感
符号意识
推理能力
模型思想
数据分析 观念 几何直观
运算能力
空间观念
课堂作业
当前，在小学数学教学的过程中，在您心 里，最重要的问题是什么？ 请按重要的程度写下3个。 实在想不起来，就写1个。
关注空间观念
空间观念部分综述
传统三大能力之一：空间想象能力； 空间观念与空间想象力的关系？ 空间想象能力是对几何表象加工改造，创造 新的形象。对学生来说，这种要求太高了， 所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学 生的空间观念。 （曹才翰）
图形的概括
图形属性的概括
先从已知的几个图形中概括出特点， 在把下面符合特征的图归入上列图中。
①
②
③
④
⑤
认识图形：从多个图形中概括中共同特点。
羊毛衫上的图案
生活中的现象。
拉门
生活中的现象。
日本的三菱汽车标志
生活中的现象。
地砖
生活中的现象。
色香味俱全，还有“形”
生活中的现象。
美国空中跳伞新记录
V＝Sh
观点与启示
GUANDIANYUQISHI
公式记得多不意味着本领强？（类似：数字大 不一定题目难，文章长不意味着价值大） 华老的话“把厚书读薄”，不知用在数学概括 上，算否牵强；无论怎样，注重概括是数学思 维的本质特点； 教学的流程有时是从一般到特殊，有时是从特 殊到一般。
图形的推理
红色与绿色的面积哪个大？
•
下图中，长方形的长和宽分别为40厘米 和25厘米，一个直径为4厘米的圆沿长方 形内壁无滑动地滚动一周，求圆滚过的 部分的面积。
观点与启示
案例：烧开水。
• 烧开水的一般过程是：在水壶里放水，点燃燃气 灶，再把水壶放到燃气灶上。 • 如果有一天，在你面前放着水壶，水壶里已经装 了水，那么又应当怎么做呢？ • 物理学家说：点燃燃气灶，再把水壶放到燃气灶 上。 • 可是数学家却不会这样想，他们常常说： • 倒出水壶里的水，然后按照一般过程烧。 • 数学家的思维：把后一问题转化成先前的问题。