取向差的定义

两个晶体坐标系之间的关系 crystal coordinate system for crystal 1 (CCS1) crystal coordinate system for crystal 2 (CCS2)
SCS
CCS1
CCS2
取向
取向差
织构定义 (Texture)


取向的欧拉（Euler）转动
ND (3)
坐标系的转动． Bunge 和 Roe 定义的欧拉角． 取向可表示成： g = (φ1, Φ, φ2) or (ψ , θ, Ф ) = 转置矩阵
u = v w r s t h k l

001


010


TD (2)

RD (1)


100
如在立方晶体坐标参考系中用 (hkl) [uvw]来表达某一晶体的取 向．这种晶粒的取向特征为： (hkl)晶面平行于轧面， [uvw]方向 平行于轧向．
3个行矢量分别是CCS在SCS的投影；
3个列矢量分别是SCS在CCS的投影
Examples – Miller Indices
{001}<110> {112}<110> {111}<110> {111}<112> {110}<001>
ND
RD
TD
Euler angle
(Bunge 定义)
Euler角（φ1 , Φ, φ2)的物理意义：
转动矩阵 g

Z SCS X Y [001] CCS
The rotation of the sample axes onto the crystal axes, i.e. CCS = g . SCS
g11 g g 21 g 31 g12 g 22 g 32 g13 cos1 g 23 cos 2 g 33 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 u r h cos 2 v s k cos 3 w t l
第一次：绕Z轴（ND） 转φ1 角 第二次：绕新的X轴（RD） 转 Φ角 第三次：绕新的Z轴（ND） 转φ2角 这时样品坐标轴和晶体坐标轴重合。
晶体坐标系：[100]、[010]、[001] 样品坐标系：轧向ND、横向TD、法向ND
密勒指数与欧拉角之间的换算
假设晶体坐标系和样品外观坐标系均为正交坐标系； 可用一个矩阵 g 来表述晶体坐标系和样品外观坐标系的关系， 一个方向在晶体系中为rc ， 而在外观系中为 rs ，则: rc = g ∙ r s 矩阵g 中的每一行都是晶体系的各个轴在外观系中的方向余弦
材料织构分析与应用
贾楠
沙玉辉
主要参考书




金属材料的晶体学织构与各向异性，毛卫民， 科学出版社，2002 电子背散射衍射技术及其应用，杨平，冶金工 业出版社，2007 计算材料学，D.罗伯，化学工业出版社，2002
Hirsch J, Lucke K, Hatherly M. Acta Metall 1988;36:2863. Leffers T, Ray RK. Prog Mater Sci 2009;54:351.
S取向的4种表示
（1）取向矩阵 g：
u r h 0.768 0.581 0.268 v s k 0.384 0.753 0.535 w t l 0.512 0.308 0.802
（2）Miller指数：{ND}<RD>={hkl}<uvw>={123}<63-4>
111
1 1 1
1 11
11 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
晶带、晶带轴
在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为一个晶带。 或者说交线相互平行的一组晶面的组合称为一个晶带。这一直线就称为晶带 轴，它用晶向指数来表示。
晶带定律：
已知一个晶面 (hkl) 和它所属的晶带[uvw]，二者之间满 足：hu+kv+lw=0，此关系式称为晶带定律。
TD
Z
Y KA X
KC
RD
无织构 = 任意织构 = 随机织构
晶体的[100]-[010]-[001]坐标系CCS相对于样品坐标系SCS：RD(rolling direction, 轧 向)-TD(transverse direction, 横向)-ND (normal direction,法向)（或X-Y-Z）的位置关系。
2. 晶向指数 晶向指数表示某一晶向（线）的方向。 确定方法： A、过坐标原点找一条平行于待定晶向的行列。 B、在该行列中任选一个结点，量出它在三个坐标轴上的坐标值 （用a, b, c度量） C、将它们化为简单的整数u, v, w，并用方括号括起来，便构成 晶向指数 [uvw]。
｛111｝晶面族中的晶面组


织构类型



为了具体描述织构 (即多晶体的取向分布规律)， 常把择优取向的晶体学方向 (晶向) 和晶体学平面 (晶面) 跟多晶体宏观参考系相关连起来。这种宏 观参考系一般与多晶体外观相关连，譬如丝状材 料一般采用轴向；板状材料多采用轧面及轧向。 多晶体在不同受力情况下，会出现不同类型的织 构。 轴向拉拔或压缩： 丝织构或纤维织构。理想 的丝织构往往沿材料流变方向对称排列。其织构 常用与其平行的晶向指数<UVW>表示。 锻压、压缩： 面织构，常以{HKL}表示。 轧制： 板织构，常以{HKL}<UVW>表示。

……
主要内容

晶体学织构的定义和表达； 织构的实验测试手段； 织构数据的分析和定量计算方法； 微观力学行为和织构的模拟

实际工业生产中织构的控制与应用
晶体学织构的定义与表达

织构的定义
001
010 100
TD RD
Z
Y KA X
KC
立方织构（Cube texture）
001010 100
1, 1, 1 are angles between [100] and X, Y, Z
2, 2, 2 are angles between [010] and X, Y, Z 3, 3, 3 are angles between [001] and X, Y, Z
[100]
[010]
若某晶体晶体常数为a、b、c和α、β、γ， 晶面间距: 立方晶系
d hkl
d hkl
a h2 k 2 l 2
1 h k l 2 2 2 a b c
2 2 2
正方晶系
斜方晶系 d hkl
2

* * * * * * ha kb lc ha kb lc
Angle/Axis of Rotation （轴角对）

°<uvw> 常用于表示取向差 可由旋转矩阵G得到
<1-210> 86°
86° <1-210> Mg合金中常见孪晶
轴角对
两个坐标系间方向关系可用一 个角和一个轴，即<uvw>来 确立； 一个坐标系可通过公共轴 <uvw>旋转角与另一坐标系 完全重合（见图）， 而且由于 是一个旋转轴，轴的方向 <uvw>在两个坐标系中是完全 相同的； 一般用这样的角-轴（ <uvw> ） 对来描述晶粒间的取向差。 例：两个相互穿插的点阵，用绕公共 轴[uvw] 的单一旋转角就可使它们重 新排列（重合），公共轴：[111] ，旋 转角是 60°
g11 g g 21 g 31 g12 g 22 g 32 g13 cos1 g 23 cos 2 g 33 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 u r h cos 2 v s k cos 3 w t l
1. 晶面指数 确定方法： A、量出待定晶面在三个晶轴的截距，
并用点阵周期a, b, c度量它们。如： 1，2，3 B、取三个截距的倒数 1/1, 1/2, 1/3 C、把它约简化为最简的整数h, k, l,
并用小括号括起来，就构成该晶面的
晶面指数（h k l）。
3 2
1
A、当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就是负的， 并将负号标在数字的上面。 B、晶面指数中第一、二、三位分别代表与A、B、C轴 的关系，它们之间不能随意变换。 C、一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组面， 而不是一个面。 D、当晶面指数中某个位置上的指数为0时，表示该晶面 与对应的晶轴平行。如（100）(001） 。
晶带定律给出了晶面与晶向之间的关系，如果晶向[uvw]包括 在晶面(hkl)中，二者就满足这个关系式。有了这个关系，我们 就可以根据已知的晶面或晶带来求得另外一些晶面或晶带。 晶带定律的应用 1)已知两晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，求交线[uvw]。 h1u+k1v+l1w=0 h2u+k2v+l2w=0 u：v：w=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1)
织构的表示方法


通过材料宏观的外观坐标系与微观取向的联系， 就可直观地了解多晶体微观的择优取向。 晶体学指数表示法 直接极图法 反极图法 等面积投影法与晶体三维空间取向分布函数法 等。

用三个Euler角作为直角坐标系的三个变量，就可以建 立起取向空间，称为Euler空间（2π ×π ×2π ）．
试样坐标系和晶体坐标系
ND