11-12学年度下学期高一数学练习2（02）12-2-17圆的一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系一．选择题．共6题小题，每题5分.每题有且仅有一个选项正确，所选答案填写到后面指定的表中.1．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数是（ ） A . 1 B . 2 C . 0或3 D .42．若两圆x 2＋y 2＝4与x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相内切，则a 等于 （ ）A . 1B . 1-C . 1或1-D .3．过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 （ ） A . 22(3)2x y -+= B . 22(3)2x y ++=C. 22(3)1x y -+= D. 22(3)1x y ++=4．两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长 （ ）A .2B . C.2D.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ( ) A. (－13,13) B. [13,13]- C. (－26,26) D. [26,26]-6．若直线y ＝x ＋k 与曲线x ＝1－y 2 恰有一个公共点，则满足条件 ( )A. k ＝－2B.k ∈ (－1,1]C . k ＝±2或k ∈［－1,1]D . k ＝－2或k ∈ (－1,1]二．填空题．共4道小题每小题5分.将最简的答案填在本大题后面指定的横线上.7．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是___ _ ____．8．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是____ ____．9．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____ ____．10．若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是___ _____．PMN高一__ __班 学号_____ 姓名__________ 成绩__________一、选择题题号 1 23456答案二．填空题．将最简的答案填在下面指定的横线上.7． 8．9． 10．三．解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共50分.11． 如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4．过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得2PM PN =．试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：12．已知O 为原点，A 是圆'C ：22(4)100x y ++=上的动点，线段OA 的中点为M ，将M 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(3,3)P --的直线l 被曲线C 截得弦长等于46，求直线l 的方程.13．一个圆的半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切．求该圆的方程．14．已知圆422=+y x O ：，和点()42，P ． （1）求过点P 与圆O 相切的直线方程；（2）过点P 作直线与圆O 相交，所得弦AB 的中点记作M ，求点M 的轨迹方程．15．在平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．（1）验证3b =-是否满足题目条件：函数图象与坐标轴有三个交点． （2）求实数b 的取值范围； （3）求C 的方程；（4）问C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．高 一 数 学 周 练 答 案第2周练习：圆的一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系一．选择题．BCA BAD 提示：1．解析：C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4， C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝C 1C 2＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13. |r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2＝2＋2＝4， ∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线． 选B2．解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0即(x －a )2＋y 2＝1，两圆圆心距为d ＝a 2＝|a |，由题意|a |＝2－1＝1， ∴a ＝±1. 选C3．解析：圆心C 是AB 的中垂线3x =与过B 点的半径所在直线(2)(1)0x y -+-=的交点(3,0)，于是半径等于22(32)(01)2-+-=，则圆C 的方程为22(3)2x y -+=.4．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0x 2＋y 2＝5， ① ② ， ②－①得公共弦所在直线方程为x －y －3＝0.∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为 d ＝|－3|1＋(－1)2＝32. 设公共弦长为l ，∴l ＝25－(32)2＝ 2. 答案： 2 5．解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.∵d ＝|c |122＋(－5)2＝|c |13，∴0≤|c |＜13，即c ∈(－13,13)．答案：(－13,13)6．解析：y ＝x ＋k 表示一组斜率为1的平行直线，x ＝1－y 2表示y 轴的右半圆．如图所示． 答案：k ＝－2或(－1,1] 二．填空题．7．(x －2)2＋(y －2)2＝2 8．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 9．x ＋y －3＝0 10．y 2＋4x －4y ＋8＝0提示：7．解析：曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上，其到直线的距离d ＝52－322＝2，即为其半径，圆心坐标为(2,2)．所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝28．解析：利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它经圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案：a 2＋2a ＋2b ＋5＝09．解析：设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知(|x 0－1|2)2＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4. ∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝010．解析：∵圆x 2＋y 2＝1的圆心关于直线y ＝x －1的对称点是(1，－1)，它也是圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0的圆心，∴a ＝2，设点P (x ，y )，则有(x ＋2)2＋(y －2)2＝|x |，即y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：y 2＋4x －4y ＋8＝0三．解答题．11． 解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,)P x y ，则2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-，同理222(2)1PN x y =-+-．∵2PM PN =，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=．这就是动点P 的轨迹方程．12．解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，点A 的坐标为00(,)x y ，则有00,,22x y x y ==2200(4)100x y ++= 消去00,x y ，得22(24)(2)100x y ++= 即22(2)25x y ++=这就是曲线C 的方程.（2）曲线C 是圆，记圆心为C ，其坐标为(2,0)-，圆的半径等于5.当直线l 的斜率不存在时，方程为3x =- 将3x =-代入22(2)25x y ++=得224y =，解得26y =±所以两交点为(3,26)-、(3,26)--，所得弦长等于46，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，直线方程为3(3)y k x +=+，即330kx y k -+-= 圆心C 到直线l 的距离22220333(1)1k k k d k k --+--==+-+ 由()222326251k k ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，解得43k = 可得直线l 的方程为4330x y -+=.综合上述，满足条件的直线l 的方程为：30x +=或4330x y -+=.13．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． PMNxxO 1O 2O圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．14．解：（1）点()42，P 在圆O 外. 当切线的斜率不存在时，其方程为2=x ．此直线确这圆的切线.当切线的斜率存在时，设斜率为k ，直线方程可设为()42+-=x k y根据r d = ∴21422=++-k k 解得 43=k 所以 ,直线方程为 ()4243+-=x y ，即 01043=+-y x所以，切线为2=x 或01043=+-y x ．（2）方法一 由（1）知，过P 与圆相交的直线斜率存在，且易验证也不会等于0，设斜率为k ，直线方程可设为()42+-=x k y设点M 的坐标为(,)x y ，由垂径定理有412y y x x -⋅=--， 即(2)(4)0x x y y -+-=，此式对于M 的坐标为(0,0)时也成立，又弦的中点M 只能在圆内，所以224x y +<于是，点M 的轨迹方程为(2)(4)0x x y y -+-=（224x y +<），图形是以（1，2）为圆422=+y x O ：内的弧．方法二：过P 的直线与圆相交所弦AB 的两端坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，中点M 的坐标为(,)x y ， 由22(2)44y k x x y =-+⎧⎨+=⎩，得222(1)2(42)416120k x k k x k k ++-+-+= 当222[2(42)]4(1)(4(1612)16(43)0k k k k k k ∆=--+-+=->时，即34k >时，弦AB 存在，设其两端坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，且有12x x +=22(42)1k k k --+，因为12x x +=2x ，所以，22(42)21k k x k -=-+ 化简得，22241k kx k -=+ 又M 的坐标为(,)x y 满足：(2)4y k x =-+由(2)4y k x =-+得42y k x -=-，将其代入22241k k x k -=+ 得，22442422412y y x x x y x --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪-⎝⎭（注意，20x -≠）化简得，22240x y x y +--= 即点M 的轨迹方程为(2)(4)0x x y y -+-=（224x y +<）.15．解：（1）3b =-时，()223f x x x =+-，与坐标轴的交点为(0,3)-、(3,0)-、(1,0)，所以，3b =-满足与坐标轴有三个交点的条件． （2）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ），由三个交点知，b ≠0；令()220f x x x b =++=，此方程有两个不等的实根，则Δ=44b -＞0，解得b ＜1 ，所以，b 的取值范围是b ＜1且b ≠0．（3）方法一 设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b （b ≠0），代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=. 方法二 如图，设圆心C 的坐标为(,)m n ，C 的半径为r ，()()22f x x x b x R =++∈的图象与x轴的两交点坐标分别为1(,0)x 、2(,0)x ，则可有1222x x m +==-，12x x b =，2212222(0)()2x x r m n b n ⎛-⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭2121212()444x x x x x x b -=+-=-于是得，1m =-，221()1n b b n +-=-+，而b ≠0，即得12b n +=， 22221251()24b b b r b +-+=+-=所以，C 的方程为222125(1)()24b b b x y +-+++-= （4）C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：方法一 将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0， 右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）． 同理可证圆C 必过定点（－2，1）． 方法二C 的方程222(1)0x y x b y b ++-++=变为22(2)(1)0x y x y b y ++---=在b ＜1且b ≠0范围内，无论b 取何值，C 总通过圆2220x y x y ++-=与直线10y -=的交点（0，1）、（－2，1），所以，圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．。