点、线、圆与圆的位置关系一：点与圆的位置关系：1. 点与圆的位置关系的判断点与圆的位置关系设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r<.>；点在圆上⇔d r=；点在圆内⇔d r2. 三角形外接圆的圆心与半径三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二：直线与圆的位置关系：1.直线与圆的位置关系设2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．3.切线的判定距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．4. 切线长定理及三角形内切圆⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三：圆与圆的位置关系：一：点与圆的位置关系： 1.点与圆的位置关系的判断：例题1：⑴【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为___________【答案】10或8【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10． 当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8．⑵【易】已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ． ①以点C 为圆心，4为半径作⊙C ，则点A 、B 、M 分别与⊙C 有怎样的位置关系？②若以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内，且至少有一点在圆外，求⊙C 的半径r 的取值范围．【答案】①∵在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M∴AB ，122CM AM ==， ∵ 以点C 为圆心，4为半径作⊙C ，∴AC=4，则A 在圆上，42CM =<，则M 在圆内，BC=5＞4，则B 在圆外；②以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内时，2r >， 当至少有一点在⊙C 外时，r ＜5，故⊙C 的半径r 的取值范围为：52r <<．测一测1：【易】在△ABC 中，90,45,C AC AB ∠=︒==， 以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r _____时，点A 在⊙C 上，且点B 在⊙C 内部？⑵当r 取值范围_______时，点A 在⊙C 外部，且点B 在⊙C 的内部？ ⑶是否存在这样的实数，使得点B 在⊙C 上，且点A 在⊙C 内部？ 【答案】在Rt △ABC 中，90,45,C AC AB ∠=︒==，根据勾股定理得，3BC =⑴当=4r 时，AC=4=r , 点A 在⊙C 上，BC=3<r =4,点B 在⊙C 内；⑵当34r <<时，AC=4>r , 点A 在⊙C 外部，BC=3<r , 点B 在⊙C 内部 ⑶不存在，要使点B 在⊙C 上，BC=r =3, 要使点A 在⊙C 内部，AC=4<r2. 三角形外接圆的圆心与半径例题2：⑴【易】已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的外接圆的半径为____________cm ． 【答案】2.5【解析】∵直角三角形的两直角边分别为3cm 和4cm ，5=cm ，∴它的外接圆半径为5÷2=2.5cm ．⑵【易】在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆的半径_______ 【答案】作AD ⊥BC ，垂足为D ，则O 一定在AD 上，∴8AD =； 设OA=r ，222OB OD BD =+，即222(8)6r r =-+，解得254r =． 测一测1：【易】若△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm ，BC=24cm ，则它的外接圆的直径____________cm 【答案】26【解析】∵△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm ，BC=24cm ，∴26AB =cm二：直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系判断：例题3:【易】如图,在矩形ABCD 中， AB=6 , BC=4 , ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是( )A. 相交 B . 相切 C. 相离 D. 无法确定【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD 中，BC=4， ∴圆心到CD 的距离为4． ∵AB 为直径，AB=6， ∴半径是3． ∵4＞3∴直线DC 与⊙O 相离，测一测1：【中】如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．8≤AB ≤10 B ．AB ≥8C ．8＜AB ≤10D ．8＜AB ＜10 【答案】Ｃ【解析】当AB 与小圆相切时，OC ⊥AB ，则2248AB AC ===?；当AB 过圆心时最长即为大圆的直径10． 则弦长AB 的取值范围是8＜AB ≤102. 切线的性质： 例题4：⑴【易】如图， AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ．若18C ??，则∠CDA=______________【答案】126° 【解析】连接OD则∠ODC=90°，∠COD=72°； ∵OA=OD ， ∴12ODA ACOD ???， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．⑵【易】如图，点Ａ,Ｂ在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥ＯB ，连接AB 交Ｏ于点Ｄ. ①AC 与CD 相等吗？为什么？②若AC=2，AO OD 的长度_______.【答案】①证明：∵AC 是⊙O 切线， ∴OA ⊥AC ， ∴∠OAC=90°∴∠OAB+∠CAB=90° ∵OC ⊥OB ， ∴∠COB=90°∴∠ODB+∠B=90° ∵OA=OB ∴∠OAB=∠B ∴∠CAB=∠ODB ∵∠ODB=∠ADC ∴∠CAB=∠ADC ∴AC=CD②解：在Rt △OAC 中，3OC =,∴OD=OC-CD=OC-AC= 3-2=1测一测1：【易】如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若 ∠P=20°，则∠A=____________【答案】35°【解析】∵PC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥CP ， ∵∠P=20°， ∴∠COB=70°， ∵OA=OC ， ∴∠A=35°．测一测2：【易】如图所示，AP 为圆O 的切线，AO 交圆O 于点B,若40A??,则_______APB?【答案】25°【解析】如图，连接OP ， ∵AP 为圆O 的切线，P 为切点， ∴∠OPA=90°， ∴∠O=90°-∠A=50°， ∵OB=OP ，3. 切线的判定例题5：⑴【中】如图，AB 是⊙O 的直径，经过圆上点D 的直线CD 恰使∠ADC=∠B. ① 求证：直线CD 是⊙O 的切线；② 过点A 作直线AB 的垂线BD 交BD 的延长线于点E ，且AB BD=2，求线段AE=______【答案】①证明：如图，连接OD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠2=90°； 又∵OB=OD ， ∴∠2=∠B ， 而∠ADC=∠B ，∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD ⊥OD ． 又∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线CD 是⊙O 的切线；②解： ∵在直角△ADB 中，AB BD=2，∴根据勾股定理知，1AD =∵AE ⊥AB ， ∴∠EAB=90°． 又∠ADB=90°， ∴△AED ∽△BAD ， ∴AD BDAE BA =，即1AE =解得，2AE =，即线段AE 的长度是2．⑵【中】如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于D 、E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F. ①求证：DF 是⊙O 的切线；②若»»AE DE =，DF=2，求⊙O 的半径______.【答案】①证明：连接OD，如图，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠1，∴∠C=∠1，∴OD∥AC．∴∠2=∠FDO，∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，∵OD为半径，∴FD是⊙O的切线；②解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴∠3=∠4．∴»»ED DB=而»»AE DE=，∴»»»DE DB AE==，∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∴∠C=60°，△OBD为等边三角形，在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°，∴33CF=233DF=，∴4323 CD CF==，∴433 DB=，∴433OB DB==，即⊙O的半径为33．⑶【易】如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．测一测1：【中】如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径=______．【答案】(1)证明：连接OD,∵D是BC的中点，O为AB的中点，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为半径，∴3OD AD ==测一测2：【易】 如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ．⑴ 求证：CD 与O ⊙相切⑵ 若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径=_______【答案】解:(1) 过O 作ON ⊥CD 于N,连接OM,则OM ⊥BC.∵AC 是正方形ABCD 的对角线, ∴AC 是BCD ∠的平分线.∴OM=ON,即圆心O 到CD 的距离等于⊙O 的半径, ∴CD 与⊙O 相切;(2) 由(1)易知△MOC 为等腰直角三角形, OM 为半径, ∴OM=MC=1∴222112OC OM MC =+=+=∴1AC AO OC =+=∵△ABC是等腰直角三角形∴22 AB==4. 切线长定理及三角形的内切圆例题6：⑴【易】如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA、PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，则△PDE的周长为（）A.16cmB.14cmC.18cmD.12cm【答案】A【解析】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△PDE的周长为16．⑵【易】如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆半径r=____________【答案】2【解析】解：如图在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；根据勾股定理10AB=;四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；∴12CE CF AC BC AB ==+-（）；即：1681022r=+-=（）．测一测1：【易】Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为_________ 【答案】12【解析】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，AD=AE，BE=BF，∴∠ODC=∠OFC=∠ACB=90°，∵OD=OF，∴四边形ODCF是正方形，∴CD=OD=OF=CF=1，∵AD=AE，BF=BE，∵AE+BE=AB=5， ∴AD+BF=5，∴△ABC 的周长是：AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12．三、圆与圆的位置关系例题7：⑴【易】图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）A.2种B.3种C.4种D.5种 【答案】A 【解析】由图形可以看出图中的圆有两个交点和有一个交点的两种位置关系，相交和内切．故选A ．⑵ 【易】已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别是a 、b ，且a 、b 满足20a -=，圆心距125O O =则两圆的位置关系是________.【答案】外切【解析】解：∵20a -= ∴a-2=0，3-b=0 解得：a=2，b=3 ∵圆心距125O O =∴2+3=5 ∴两圆外切故答案为：外切．⑶ 【易】已知：半径分别为3cm 和5cm 的两圆相切，则两圆圆心距d 为（ ） A.2cm B.8cm C.2cm 或8cm D.2cm<d<8cm 【答案】C【解析】∵两圆半径分别为3cm 、5cm ，两圆圆心距为d ，∴d 的取值范围为5cm-3cm ＜d ＜5cm+3cm ，即2cm ＜d ＜8cm ． 故选D ．测一测1：如果半径分别是2cm 和3cm 的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是（ ） A.1cm B.5cm C.1cm 或5cm D.小于1cm 或大于5cm 【答案】B【解析】解：∵半径分别为2cm 和3cm 的两圆外切， ∴两个圆的圆心距d=3+2=5cm ．家庭作业：1． “圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A 、经过半径外端点的直线是圆的切线；B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C 、垂直于半径的直线是圆的切线；D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。